Question

按如圖所示的流程，輸入一個數據x，根據y與x的關系式就輸出一個數據y，這樣可以將一組數據變換成另一組新的數據，要使任意一組都在20～100（含20和100）之間的數據，變換成一組新數據后能滿足下列兩個要求：
（Ⅰ）新數據都在60～100（含60和100）之間；
（Ⅱ）新數據之間的大小關系與原數據之間的大小關系一致，即原數據大的對應的新數據也較大．
（1）若y與x的關系是y=x+p（100-x），請說明：當p=時，這種變換滿足上述兩個要求；
（2）若按關系式y=a（x-h）²+k（a＞0）將數據進行變換，請寫出一個滿足上述要求的這種關系式．（不要求對關系式符合題意作說明，但要寫出關系式得出的主要過程）

Answer 1

解：（1）當P=時，y=x+（100-x），
即y=x+50．
∴y隨著x的增大而增大，
即P=時，滿足條件（Ⅱ）
又當x=20時，y=×20+50=60．
而原數據都在20～100之間，
所以新數據都在60～100之間，即滿足條件（Ⅰ），
綜上可知，當P=時，這種變換滿足要求．

（2）本題是開放性問題，答案不唯一．
若所給出的關系式滿足：
（a）h≤20；
（b）若x=20，100時，y的對應值m，n能落在60～100之間，則這樣的關系式都符合要求．
如取h=20，y=a（x-20）²+k，
∵a＞0，
∴當20≤x≤100時，y隨著x的增大而增大，
令x=20，y=60，得k=60 ①
令x=100，y=100，得a×80²+k=100②
由①②解得，
∴y=（x-20）²+60．
分析：（1）當P=時，y=x+50，觀察這個一次函數可知：斜率＞0，則y隨x的增大而增大，因此符合條件Ⅱ；因為20≤x≤100，即20≤2y-100≤100，可得60≤y≤100，因此也符合Ⅰ的條件．
（2）本題答案不唯一．可根據拋物線的開口方向和拋物線的對稱軸來說明．
點評：本題考查了一次函數和二次函數的性質，解題的關鍵是弄清題目給出的閱讀材料的含義．