Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=，∠C=30°．點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位長的速度向A點勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．

（1）AC的長是　　，AB的長是　　．

（2）在D、E的運動過程中，線段EF與AD的關系是否發生變化？若不變化，那么線段EF與AD是何關系，并給予證明；若變化，請說明理由．

（3）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB=5，AC=10；（2）EF與AD平行且相等；（3）當t=時，四邊形AEFD為菱形

【解析】

（1）在Rt△ABC中，∠C=30°，則AC=2AB，根據勾股定理得到AC和AB的值．
（2）先證四邊形AEFD是平行四邊形，從而證得AD∥EF，并且AD=EF，在運動過程中關系不變．
（3）求得四邊形AEFD為平行四邊形，進而利用菱形的判定與性質得出AE=AD時，求出t的值，進而得出答案．

（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，

∴AC=2AB，

根據勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2，

∴3AB2=75，

∴AB=5，AC=10；

（2）EF與AD平行且相等．

證明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t．

又∵AE=t，

∴AE=DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

∴四邊形AEFD為平行四邊形．

∴EF與AD平行且相等．

（3）解：能；

理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

又∵AE=DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形．

∵AB=5，AC=10．

∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．

若使AEFD為菱形，則需AE=AD，

即t=10﹣2t，解得：t=．

即當t= 時，四邊形AEFD為菱形．

故答案為：（1）AB=5，AC=10；（2）EF與AD平行且相等；（3）當t= 時，四邊形AEFD為菱形．