Question

【題目】如圖，在Rt⊿ABC中，∠ACB是直角， tan∠B=,BC=16 cm,點D以2cm/s的速度由點A向點B勻速運動，到達點B即停止，M、N分別是AD、CD的中點，連結MN，設點D的運動時間為t

（1）求MN的長；

（2）求點D由點A到點B勻速運動過程中，線段MN所掃過的面積；

（3）若⊿DMN是等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）MN=6 cm；（2）48；（3）6s、、5s

【解析】

（1）由角的正切值，求出AC的值，然后由中位線定理，即可得到MN的長度；

（2）分別取△ABC三邊AC，AB，BC的中點P，M，N，并連接NP，根據題意可得線段MN掃過區域的面積就是平行四邊形AMNP的面積求解即可；

（3）分三種情況：①當MD=MN時，②當DN=MN時，③當MD=DN，分別求出△DMN為等腰三角形時t的值即可．

解：（1）∵在Rt△ABC中，tan∠B=，BC=16，

∴AC=12，

∵M、N分別是AD、CD的中點

∴MN是△ADC的中位線，

∴MN=6 cm；

（2）作AC的中點P，連結NP，

∵MN∥AP且MN=AP，

∴線段MN所掃過四邊形AMNP是平行四邊形，

∵當點D與點B重合時四邊形AMNP的面積就是線段MN所掃過的面積，此時M、N、P分別是Rt△ABC三邊的中點，

∴四邊形AMNP的面積= cm2；

（3）①當DM=MN時，DM=，MN=6

∴t=6 ，

②當DN=MN時，連結MC，

∴DN=MN=6，則DC=12，

∴DC=AC，

∴MC⊥AB，

又∵AB==20，

∴MCAB= BCAC，

即：MC20= 1612，

∴MC=，

，

解得：=；

③當DM=DN時，過D作垂線交AC于點P，

∴DP⊥AC ，且P是AC的中點，

又∵∠ACB是直角，則BC⊥AC，

∴DP∥BC，

∴點D是AB的中點，

∴DM=，

當△DMN是等腰三角形時，的值分別是6s、、5s．