Question

如圖1，在直角坐標系中，點A的坐標為(1，0)，以OA為邊在第一象限內作正方形OABC，點D是軸正半軸上一動點（OD＞1）,連結BD，以BD為邊在第一象限內作正方形DBFE，設M為正方形DBFE的中心，直線MA交軸于點N．如果定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形．
（1）試找出圖1中的一個損矩形；
（2）試說明(1)中找出的損矩形的四個頂點在同一個圓上；
（3）隨著點D位置的變化，點N的位置是否會發生變化？若沒有發生變化，求出點N的坐標；若發生變化，請說明理由；
（4）在圖2中，過點M作MG⊥軸于點G，連結DN，若四邊形DMGN為損矩形，求D點坐標．

Answer 1

(1)四邊形ABMD為損矩形；（2）見解析；（3）（0，-1）；（4）(3，0)

試題分析：（1）根據題中給出的損矩形的定義，從圖找出只有一組對角是直角的四邊形即可；
（2）證明四邊形BADM四個頂點到BD的中點距離相等即可；
（3）利用同弧所對的圓周角相等可得∠MAD=∠MBD，進而得到OA=ON，即可求得點N的坐標；
（4）根據正方形的性質及損矩形含有的直角，利用勾股定理求解．
(1)四邊形ABMD為損矩形；
(2)取BD中點H，連結MH，AH
∵四邊形OABC，BDEF是正方形
∴△ABD，△BDM都是直角三角形
∴HA=BD   HM=BD
∴HA=HB=HM=HD=BD
∴損矩形ABMD一定有外接圓
(3)∵損矩形ABMD一定有外接圓⊙H
∴MAD =MBD    
∵四邊形BDEF是正方形
∴MBD=45°
∴MAD=45°
∴OAN=45°
∵OA=1 
∴ON=1   
∴N點的坐標為（0，-1）
(4) 延長AB交MG于點P，過點M作MQ⊥軸于點Q
設MG=，則四邊形APMQ為正方形
∴PM=AQ=-1 ∴OG=MQ=-1
∵△MBP≌△MDQ
∴DQ=BP=CG=-2
∴MN²
ND²
MD²
∵四邊形DMGN為損矩形
∴
∴ 
∴=2.5或=1(舍去)     
∴OD=3  
∴D點坐標為(3，0).
點評：解答本題的關鍵是理解損矩形的只有一組對角是直角的性質，