Question

【題目】已知拋物線l1：y=﹣x2+2x+3與x軸交于點A，B（點A在點B左邊），與y軸交于點C，拋物線l2經過點A，與x軸的另一個交點為E（4，0），與y軸交于點D（0，﹣2）．

（1）求拋物線l2的解析式；
（2）點P為線段AB上一動點（不與A、B重合），過點P作y軸的平行線交拋物線l1于點M，交拋物線l2于點N．
①當四邊形AMBN的面積最大時，求點P的坐標；
②當CM=DN≠0時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵令﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

設拋物線l2的解析式為y=a（x+1）（x﹣4）．

∵將D（0，﹣2）代入得：﹣4a=﹣2，

∴a= ．

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣2

（2）解：①如圖1所示：

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=4．

設P（x，0），則M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣ x﹣2）．

∵MN⊥AB，

∴SAMBN= ABMN=﹣3x2+7x+10（﹣1＜x＜3）．

∴當x= 時，SAMBN有最大值．

∴此時P的坐標為（ ，0）．

②如圖2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM與DN不平行．

∵DC∥MN，CM=DN，

∴四邊形CDNM為等腰梯形．

∴∠DNH=∠CMG．

在△CGM和△DNH中 ，

∴△CGM≌△DNH．

∴MG=HN．

∴PM﹣PN=1．

設P（x，0），則M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣ x﹣2）．

∴（﹣x2+2x+3）+（ x2﹣ x﹣2）=1，解得：x1=0（舍去），x2=1．

∴P（1，0）．

當CM∥DN時，如圖3所示：

∵DC∥MN，CM∥DN，

∴四邊形CDNM為平行四邊形．

∴DC=MN．=5

∴﹣x2+2x+3﹣（ x2﹣ x﹣2）=5，

∴x1=0（舍去），x2= ，

∴P（ ，0）．

總上所述P點坐標為（1，0），或（ ，0）．

【解析】1、直線l2經過A、D、E三點，只需求出A點坐標，就可以求出直線l2的解析式；2、①四邊形AMBN的對角線互相垂直，SAMBN= ABMN，由A、B兩點坐標求出線段AB的長，MN⊥AB得出點P、M、N三點的橫坐標相同，設P（x，0），可以表示出點M、N的坐標，從而列出s與x的函數關系式，求得s的最大值時，x的值，于是就可以求得點P的坐標；②當CM=DN≠0時，分兩種情況，當CM∥DN時四邊形CDNM為平行四邊形；當CM不平行 DN時，四邊形CDNM為等腰梯形．就可以求出點P的坐標。