Question

【題目】在⊙O 中，點(diǎn)C是上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，∠ACB=120°，點(diǎn)I是∠ABC的內(nèi)心，CI的延長線交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)AD,BD．

（1）求證：AD=BD．

（2）猜想線段AB與DI的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（3）若⊙O的半徑為2，點(diǎn)E，F(xiàn)是的三等分點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)F時，求點(diǎn)I隨之運(yùn)動形成的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AB=DI，理由見解析（3）

【解析】（1）根據(jù)內(nèi)心的定義可得CI平分∠ACB，可得出角相等，再根據(jù)圓周角定理，可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)AD=BD，可證得△ABD是等邊三角形，再根據(jù)內(nèi)心的定義及三角形的外角性質(zhì)，證明∠BID=∠IBD，得出ID=BD，再根據(jù)AB=BD，即可證得結(jié)論；

（3）連接DO，延長DO根據(jù)題意可知點(diǎn)I隨之運(yùn)動形成的圖形式以D為圓心，DI1為半徑的弧，根據(jù)已知及圓周角定理、解直角三角形，可求出AD的長，再根據(jù)點(diǎn)E，F(xiàn)是 弧AB 的三等分點(diǎn)，△ABD是等邊三角形，可證得∠DAI1=∠AI1D，然后利用弧長的公式可求出點(diǎn)I隨之運(yùn)動形成的路徑長.

（1）證明：∵點(diǎn)I是∠ABC的內(nèi)心

∴CI平分∠ACB

∴∠ACD=∠BCD

∴弧AD=弧BD

∴AD=BD

（2）AB=DI

理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD

∴∠BCD=×120°=60°

∵弧BD=弧BD

∴∠DAB=∠BCD=60°

∵AD=BD

∴△ABD是等邊三角形，

∴AB=BD，∠ABD=∠C

∵I是△ABC的內(nèi)心

∴BI平分∠ABC

∴∠CBI=∠ABI

∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD

∴∠BID=∠IBD

∴ID=BD

∵AB=BD

∴AB=DI

（3）解：如圖，連接DO，延長DO根據(jù)題意可知點(diǎn)I隨之運(yùn)動形成的圖形式以D為圓心，DI1為半徑的弧

∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD

∴∠AED=∠ACB=×120°=60°

∵圓的半徑為2，DE是直徑

∴DE=4，∠EAD=90°

∴AD=sin∠AED×DE=×4=2

∵點(diǎn)E，F(xiàn)是 弧AB 的三等分點(diǎn)，△ABD是等邊三角形，

∴∠ADB=60°

∴弧AB的度數(shù)為120°，

∴弧AM、弧BF的度數(shù)都為為40°

∴∠ADM=20°=∠FAB

∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°

∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°

∴∠DAI1=∠AI1D

∴AD=I1D=2

∴弧I1I2的長為：