Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點為，與軸的交點分別為，，且，直線軸，在軸上有一動點過點作平行于軸的直線與拋物線、直線的交點分別為、．

求拋物線的解析式；

當時，求面積的最大值；

當時，是否存在點，使以、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】 ；當時，面積的最大值為；或或．

【解析】

（1）由根與系數的關系可得，再由即可求得、，所以、，把代入即可求得m的值，由此可得拋物線的解析式；（2）先求得點A的坐標，再用待定系數法求得直線AC的解析式，分當時和當時兩種情況求得面積與t的函數關系式，根據二次函數的性質即可求得兩種情況下面積的最大值，比較即可解答；（3）分兩種情況討論：①當時，，，再由△AOB∽△AQP或△AOB∽△PQA，根據相似三角形的性質分別列出方程求解即可；②當時，，，再由△AOB∽△AQP或△AOB∽△PQA，根據相似三角形的性質分別列出方程求解即可.

由題意知、是方程的兩根，

∴，

由

解得：

∴、

則，

解得：，

∴該拋物線解析式為：；

可求得

設直線的解析式為：，

∵

∴

∴直線的解析式為：，

要構成，顯然，分兩種情況討論：

①當時，設直線與交點為，則：，

∵，∴，

∴

，

此時最大值為：，

②當時，設直線與交點為，則：，

∵，∴，

∴

，

當時，取最大值，最大值為：，

綜上可知，當時，面積的最大值為；

如圖，連接，則中，，，，

，，

①當時，，，

若：，則：，

即：，

∴（舍），或，

若，則：，

即：，

∴（舍）或（舍），

②當時，，，

若：，則：，

即：，

∴（舍），或，

若，則：，

即：，

∴（舍）或，

∴或或．