Question

【題目】如圖①，已知線段AC∥y軸，點B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y軸于G，連接OB，OC.

(1)判斷△AOG的形狀，并予以證明；

(2)若點B，C關于y軸對稱，求證：AO⊥BO；

(3)在(2)的條件下，如圖②，點M為OA上一點，且∠ACM＝45°，BM交y軸于P，若點B的坐標為(3，1)，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）△AOG是等腰三角形；（2）見解析；（3）M(－1，3)．

【解析】

(1)、利用已知條件可證明∠GOA=∠GAO，由等腰三角形的判定可得AG=OG，所以△AOG是等腰三角形；(2)、由已知可得BP=CP，因為AC∥y軸，可得GA=GB；根據等腰三角形的性質得出∠GOB=∠GBO，∠AOG=∠OAG，所以∠AOG+∠BOG=∠OAG+∠OBG，即∠AOB=∠OAG+∠OBG，即可求得∠AOB=90°；(2)、先證得BM是∠ABC的平分線，設∠OBC=x，則x+∠POB=90°，而∠POA+∠POB=∠AOB=90°，求得x=∠POA，進一步證得x=∠GAM．根據∠OMB=∠GAM+∠ABM=x+∠ABM=x+∠PBM=∠MBO，得出OB=OM，然后證明出△OMF和△BOH全等，根據點B的坐標得出點M的坐標．

(1)解：△AOG的形狀是等腰三角形

證明如下：∵AC∥y軸，∴∠CAO＝∠GOA， ∵AO平分∠BAC，∴∠CAO＝∠GAO，

∴∠GOA＝∠GAO，∴AG＝OG，∴△AOG是等腰三角形．

(2)證明：如圖①，連接BC，過點O作OE⊥AB于點E，過點C作CD⊥x軸于點D.

∵B，C關于y軸對稱，AC∥y軸，∴OB＝OC，AC⊥BC，∴點A，C，D在同一條直線上．

∵AO為∠CAB的平分線，∴OD＝OE.

在Rt△COD和Rt△BOE中，OD=OE，OC=OB，∴△COD≌△BOE(HL)，∴∠DCO＝∠EBO.

∵∠DCO＋∠ACO＝180°，∴在四邊形ACOB中，∠ACO＋∠EBO＝180°，

∴∠BAC＋∠BOC＝180°， 設∠BAO＝∠CAO＝x，∠OBC＝∠OCB＝y，

∴2x＋∠BOC＝180°，2y＋∠BOC＝180°，∴x＝y， ∴∠OAC＝∠OBC，

∴∠AOB＝∠ACB＝90°，∴AO⊥OB．

(3)解：如圖②，連接BC，過點M作MF⊥x軸于F，過點B作BH⊥x軸于H，

由(2)可知∠ACB＝90°， ∵∠ACM＝45°，∴CM平分∠ACB，

又∵AM平分∠BAC，∴BM平分∠ABC.設∠ABM＝∠CBM＝z，

由(2)可得∠OMB＝x＋z，∠OBM＝y＋z＝x＋z，∴∠OMB＝∠OBM，∴OM＝OB，

∴△OBM為等腰直角三角形． ∵∠BOH＋∠MOF＝90°，∠MOF＋∠FMO＝90°，

∴∠FMO＝∠BOH，

在△OMF和△BOH中，∠MFO=∠OHB=90°，∠FMO=∠HOB，OM=OB，∴△OMF≌△BOH(AAS)．

又∵點B的坐標為(3，1)，∴OF＝BH＝1，MF＝OH＝3，∴M(－1，3)．