Question

【題目】如圖，為的直徑，，為上的兩點(diǎn)，平分，于．

求證：為的切線；

過點(diǎn)作于，如圖，判斷和，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；

若，，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).

【解析】

（1）連接OC，如圖1，由AC平分∠EAB得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，則∠1=∠3，于是可判斷OC∥AD，則有AD⊥CD可判斷OC⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；

（2）連結(jié)CE，如圖2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得CD=CF，再證明Rt△ACD≌△ACF得到AD=AF，接著證明Rt△DEC∽Rt△DCA，由相似的性質(zhì)得DE：DC=DC：DA，然后利用等線段代換即可得到CF2=DEAF；

（3）設(shè)⊙O的半徑為r，由AD=AF，AD﹣OA=1.5可得到OF=1.5，再證明Rt△ACF∽Rt△ABC，利用相似比可計(jì)算出r=3，接著在Rt△FCO中，利用余弦的定義可求出∠COB=60°，然后根據(jù)扇形的面積公式和等邊三角形面積公式和S陰影部分=S扇形BOC﹣S△BOC進(jìn)行計(jì)算即可．

（1）連接OC，如圖1．

∵AC平分∠EAB，∴∠1=∠2．

∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴OC∥AD．

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD為⊙O的切線；

（2）CF2=AFDE．理由如下：

連結(jié)CE，如圖2．

∵AC平分∠EAB，CD⊥AE，CF⊥AB，∴CD=CF．在Rt△ACD和△ACF中，，∴Rt△ACD≌△ACF，∴AD=AF．

∵四邊形CEAB內(nèi)接于⊙O，∴∠DEC=∠B．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠2=90°，而∠1+∠ACD=90°，∠1=∠2，∴∠DEC=∠ACD，∴Rt△DEC∽Rt△DCA，∴DE：DC=DC：DA，∴DC2=DEDA，∴CF2=DEAF；

（3）設(shè)⊙O的半徑為r．

∵AD=AF，而AD﹣OA=1.5，∴AF=AD=OA+OF=r+1.5，∴OF=1.5．

∵∠CAB=∠FAC，∴Rt△ACF∽Rt△ABC，∴=，即=，解得：r=3或r=﹣（舍去）．

在Rt△FCO中，∵cos∠COF===，∴∠COB=60°，∴S陰影部分=S扇形BOC﹣S△BOC

=﹣×32=π﹣．