Question

【題目】如圖（1），∠AOB＝45°，點P、Q分別是邊OA，OB上的兩點，且OP＝2cm．將∠O沿PQ折疊，點O落在平面內點C處.

（1）①當PC∥QB時，OQ＝ ；

②當PC⊥QB時，求OQ的長.

（2）當折疊后重疊部分為等腰三角形時，求OQ的長.

Answer 1

【答案】（1） 2 （2）2＋2 ， 2－2 （3）符合條件的點Q共有5個． ①當點C在∠AOB內部或一邊上時，OQ＝2，，2 ②當點C在∠AOB的外部時，OQ＝＋，－.

【解析】試題分析：（1）①由平行線的性質得出∠O=∠CPA，由折疊的性質得出∠C=∠O，OP=CP，證出∠CPA=∠C，得出OP∥QC，證出四邊形OPCQ是菱形，得出OQ=OP=2cm即可；
②當PC⊥QB時，分兩種情況：設OQ=xcm，證出△OPM是等腰直角三角形，得出OM=，證出△CQM是等腰直角三角形，得出 ，得出方程解方程即可；（ii）同（i）得出：，即可得出結論；

（2）當折疊后重疊部分為等腰三角形時，符合條件的點Q共有5個；點C在∠AOB的內部或一邊上時，由折疊的性質、三角形內角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的長；點C在∠AOB的外部時，同理求出OQ的長即可；

試題解析：

（1）①當PC∥QB時，∠O=∠CPA，
由折疊的性質得：∠C=∠O，OP=CP，
∴∠CPA=∠C，
∴OP∥QC，
∴四邊形OPCQ是平行四邊形，
∴四邊形OPCQ是菱形，
∴OQ=OP=2cm；
②當PC⊥QB時，分兩種情況：
如圖1所示：設OQ=xcm，

∵∠O=45°，
∴△OPM是等腰直角三角形，

∴OM＝ ，

∴QM＝ ，

由折疊的性質得：∠C=∠O=45°，CQ=OQ=x，
∴△CQM是等腰直角三角形，
∴QC＝ ，

∴ ，

解得： ，

即OQ＝ ；

（ii）如圖2所示：

同（i）得：OQ＝，

綜上所述：當PC⊥QB時，OQ的長為 或 ；

（2）當折疊后重疊部分為等腰三角形時，符合條件的點Q共有5個；
①點C在∠AOB的內部時，四邊形OPCQ是菱形，OQ=OP=2cm；
②當點C在∠AOB的一邊上時，△OPQ是等腰直角三角形，OQ= 或 ，

③當點C在∠AOB的外部時，分兩種情況：
（i）如圖3所示：PM=PQ，則∠PMQ=∠PQM=∠O+∠OPQ，

由折疊的性質得：∠OPQ=∠MPQ，
設∠OPQ=∠MPQ=x，
則∠PMQ=∠PQM=45°+x，
在△OPM中，由三角形內角和定理得：45°+x+x+45°+x=180°，
解得：x=30°，
∴∠OPQ=30°，
作QN⊥OP于N，設ON=a，
∵∠O=45°，
則QN=ON=a，OQ= ，PN＝ ，

∵ON+PN=OP，
∴a+ ，

解得： ，

∴OQ= ；

（ii）如圖4所示：PQ=MQ，作QN⊥OA于N，

同①得：OQ= ；

綜上所述：當折疊后重疊部分為等腰三角形時，OQ的長為2cm或 。