Question

【題目】瑞士著名數學家歐拉發現：簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E之間滿足一種有趣的關系：V+F﹣E＝2，這個關系式被稱為歐拉公式．比如：正二十面體（如右圖），是由20個等邊三角形所組成的正多面體，已知每個頂點處有5條棱，則可以通過歐拉公式算出正二十面體的頂點為_____個．那么一個多面體的每個面都是五邊形，每個頂點引出的棱都有3條，它是一個_____面體．

Answer 1

【答案】12． 12．

【解析】

①設出正二十面體的頂點為n個，則棱有條.利用歐拉公式構建方程即可解決問題.②設頂點數V、棱數E、面數F、每個點都屬于三個面，每條邊都屬于兩個面，利用歐拉公式構建方程即可解決問題.

解：①設出正二十面體的頂點為n個，則棱有條．

由題意F＝20，

∴n+10﹣＝2，

解得n＝12．

②設頂點數V，棱數E，面數F，每個點屬于三個面，每條邊屬于兩個面

由每個面都是五邊形，則就有E＝，V＝

由歐拉公式：F+V﹣E＝2，代入：

F+﹣＝2

化簡整理：F＝12

所以：E＝30，V＝20

即多面體是12面體．棱數是30，面數是12，

故答案為12，12.