Question

【題目】如圖，在正n邊形（n為整數，且n≥4）繞點A順時針旋轉60°后，發現旋轉前后兩圖形有另一交點O，連接AO，我們稱AO為“疊弦”；再將“疊弦”AO所在的直線繞點A逆時針旋轉60°后，交旋轉前的圖形于點P，連接PO，我們稱∠OAB為正n邊形的“疊弦角”，△AOP為“疊弦三角形”．以下說法，正確的是 ． （填番號）
①在圖1中，△AOB≌△AOD'；
②在圖2中，正五邊形的“疊弦角”的度數為360°；
③“疊弦三角形”不一定都是等邊三角形； ④正n邊形的“疊弦角”的度數為60°﹣ ．

Answer 1

【答案】①
【解析】解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠B=90°，
由旋轉的性質得，AD=AD′，∠D=∠D′=90°，
∴AB=AD′，
在Rt△ABO與Rt△AD′O中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AD′O，
故①正確；
②如圖2，
作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．

∵五邊形ABCDE是正五邊形，
由旋轉知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°，
∴∠EAP=∠E'AO，
在△APE與△AOE'中，
，
∴△APE≌△AOE′（ASA），
∴∠OAE′=∠PAE．
在Rt△AEM和Rt△ABN中，
，
∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），
∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．
在Rt△APM和Rt△AON中，
，
∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）．
∴∠PAM=∠OAN，
∴∠PAE=∠OAB，
∴∠OAE'=∠OAB= （108°﹣60°）=24°，
故②錯誤；
③如圖3，

∵六邊形ABCDEF和六邊形A′B′C′E′F′是正六邊形，
∴∠F=F′=120°，
由旋轉得，AF=AF′，EF=E′F′，
∴△APF≌△AE′F′，
∴∠PAF=∠E′AF′，
由旋轉得，∠FAF′=60°，AP=AO
∴∠PAO=∠FAO=60°，
∴△PAO是等邊三角形，
故③錯誤．
④由圖1中的多邊形是四邊形，圖2中的多邊形五邊形，圖3中的多邊形是六邊形，
∴圖n中的多邊形是正（n+3）邊形，
同②的方法得，∠OAB=[（n+3﹣2）×180°÷（n+3）﹣60°]÷2=60°﹣ ，
故④錯誤．
故答案：①．