Question

【題目】如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC=90o，AB是⊙O的直徑，⊙O交AC于點D，過點D的直線交BC于點E，交AB的延長線于點P，∠A=∠PDB．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）若AB=4，DA=DP，試求弧BD的長；

（3）如圖②，點M是弧AB的中點，連結DM，交AB于點N．若tanA=，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）連結OD；由AB是⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，根據等腰三角形的性質得到∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；得到∠PDO=90°，且D在圓上，于是得到結論；

（2）設∠A=x，則∠A=∠P=x，∠DBA=2x，在△ABD中，根據∠A+∠ABD=90o列方程求出x的值，進而可得到∠DOB=60o，然后根據弧長公式計算即可；

（3）連結OM，過D作DF⊥AB于點F，然后證明△OMN∽△FDN，根據相似三角形的性質求解即可.

（1）連結OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90o，

∠A+∠ABD=90o，又∵OA=OB=OD，∴∠BDO=∠ABD，

又∵∠A=∠PDB，∴∠PDB+∠BDO=90o，即∠PDO=90o，

且D在圓上，∴PD是⊙O的切線．

（2）設∠A=x，

∵DA=DP，∴∠A=∠P=x，∴∠DBA=∠P+∠BDP=x+x=2x，

在△ABD中，

∠A+∠ABD=90o，x=2x=90o，即x=30o，

∴∠DOB=60o，∴弧BD長．

（3）連結OM，過D作DF⊥AB于點F，∵點M是的中點，

∴OM⊥AB，設BD=x，則AD=2x，AB==2OM，即OM=，

在Rt△BDF中，DF=，

由△OMN∽△FDN得．