Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OC和AB相交于點E，點D在OC的延長線上，且∠B=∠D=∠BAC=30°．

（1）試判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）AB=，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）直線AD與⊙O相切。理由如下：
如圖，連接OA，

∵∠B=30°，∴∠AOC=2∠B=60°。
又∵∠D=30°，∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠D=90°。
∴OA⊥AD。
∵OA為半徑，∴AD是⊙O的切線。
（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△ACO是等邊三角形。
∴∠ACO=60°，AC=OA。∴∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠ACE=90°。∴OC⊥AB，
又∵OC是⊙O的半徑，∴AE=AB=。
在Rt△ACE中，，∴⊙O的半徑為6。

試題分析：（1）連接OA，求出∠AOC=2∠B=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OAD，根據(jù)切線判定推出即可。
（2）求出∠AEC=90°，根據(jù)垂徑定理求出AE，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出即可。