Question

【題目】已知拋物線的解析式為，（與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，項(xiàng)點(diǎn)為．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若將拋物線沿著直線的方向平移得到拋物線；

①當(dāng)拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求拋物線的解析式；

②點(diǎn)是①中拋物線上一點(diǎn)，若且為整數(shù)，求滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)；（2）①，②滿足條件的點(diǎn)有個(gè)．

【解析】

（1）令y=0求出x，可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；令x=0求出y，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）①先求出直線PD的解析式，由拋物線的頂點(diǎn)在直線PD上移動(dòng)可設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，利用可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得其解析式；

②先求出當(dāng)、時(shí)的取值，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式及其圖象性質(zhì)可分別求得當(dāng)、時(shí)的取值范圍，進(jìn)而得出的整數(shù)值，即可求出滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解：（1）取，即

解得：

則點(diǎn)，點(diǎn)

取，得

則點(diǎn)

又

則點(diǎn)

（2）①設(shè)直線的解析式為

點(diǎn)，點(diǎn)

解得

直線的解析式為，

拋物線沿著直線 的方向平移得到拋物線

平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)平移后解析式為

又拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)

令

整理得：

則，即

解得

平移后所得拋物線的解析式為

即

②的頂點(diǎn)為

∵當(dāng)時(shí)，時(shí)

∴當(dāng)時(shí)，

則有個(gè)整數(shù)

當(dāng)時(shí)，

則有個(gè)整數(shù)

拋物線是連續(xù)的，所以可以取到當(dāng)時(shí)的函數(shù)值的所有整數(shù)，

故滿足條件的點(diǎn)有個(gè)．