Question

在一平直河岸l同側有A，B兩個村莊，A，B到l的距離分別是3km和2km，AB=akm（a＞1）．現計劃在河岸l上建一抽水站P，用輸水管向兩個村莊供水．
方案設計：
某班數學興趣小組設計了兩種鋪設管道方案：圖1是方案一的示意圖，設該方案中管道長度為d₁，且d₁=PB+BA（km）（其中BP⊥l于點p）；圖2是方案二的示意圖，設該方案中管道長度為d₂，且d₂=PA+PB（km）（其中點A'與點A關于I對稱，A′B與l交于點P．

觀察計算：
（1）在方案一中，d₁=

 

km（用含a的式子表示）；
（2）在方案二中，組長小宇為了計算d₂的長，作了如圖3所示的輔助線，請你按小宇同學的思路計算，
d₂=

 

km（用含a的式子表示）．
探索歸納
（1）①當a=4時，比較大小：d₁（

 

）d₂（填“＞”、“=”或“＜”）；
②當a=6時，比較大小：d₁（

 

）d₂（填“＞”、“=”或“＜”）；
（2）請你參考右邊方框中的方法指導，就a（當a＞1時）的所有取值情況進行分析，要使鋪設的管道長度較短，應選擇方案一還是方案二？

Answer 1

分析：運用勾股定理和軸對稱求出d₂，根據方法指導，先求d₁²-d₂²，再根據差進行分類討論選取合理方案．

解答：解：（1）∵A和A'關于直線l對稱，

∴PA=PA'，
d₁=PB+BA=PB+PA'=a+2；
故答案為：a+2；

（2）因為BK²=a²-1，
A'B²=BK²+A'K²=a²-1+5²=a²+24
所以d₂=

a2+24

．
探索歸納：
（1）①當a=4時，d₁=6，d₂=

40

，d₁＜d₂；
②當a=6時，d₁=8，d₂=

60

，d₁＞d₂；
（2）d12-d22=(a+2)2-(

a2+24

)2=4a-20．
①當4a-20＞0，即a＞5時，d₁²-d₂²＞0，
∴d₁-d₂＞0，
∴d₁＞d₂；
②當4a-20=0，即a=5時，d₁²-d₂²=0，
∴d₁-d₂=0，
∴d₁=d₂
③當4a-20＜0，即a＜5時，d₁²-d₂²＜0，
∴d₁-d₂＜0，
∴d₁＜d₂
綜上可知：當a＞5時，選方案二；
當a=5時，選方案一或方案二；
當1＜a＜5（缺a＞1不扣分）時，選方案一．

點評：本題為方案設計題，綜合考查了學生的作圖能力，運用數學知識解決實際問題的能力，以及觀察探究和分類討論的數學思想方法．