Question

【題目】如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，直線交拋物線W于另一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求直線的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，若平分，求拋物線W的解析式；

（3）若，將拋物線W向下平移個(gè)單位得到拋物線，如圖2，記拋物線的頂點(diǎn)為，與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，與射線的交點(diǎn)為．問(wèn)：在平移的過(guò)程中，是否恒為定值？若是，請(qǐng)求出的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）恒為定值．

【解析】

（1）由拋物線解析式可得頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，-2），利用待定系數(shù)法即可得直線AB解析式；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得BE=BN，由∠BND=∠CED=90°，∠BND=∠CDE可證明，設(shè)BE=x，BD=y，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CE=2x，CD=2y，根據(jù)勾股定理由得y與x的關(guān)系式，即可用含x的代數(shù)式表示出C、D坐標(biāo)，代入y=ax2-2可得關(guān)于x、a的方程組，解方程組求出a值即可得答案；

（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)平移規(guī)律可得拋物線W1的解析式為y=x2-2-m，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，0）（t＜0），代入y=x2-2-m可得2+m=t2，即可的W1的解析式為y=x2-t2，聯(lián)立直線BC解析式可用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)C1的坐標(biāo)，即可得，可得∠，根據(jù)拋物線W的解析式可得點(diǎn)D坐標(biāo)，聯(lián)立直線BC與拋物線W的解析式可得點(diǎn)C、A坐標(biāo)，即可求出CG、DG的長(zhǎng)，可得CG=DG，∠CDG=∠，即可證明，可得，，由∠CDG=45°可得BF=DF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出DF的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出CD的長(zhǎng)，即可求出CF的長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得答案．

（1）∵拋物線W：的頂點(diǎn)為點(diǎn)，

∴點(diǎn)，

設(shè)直線解析式為，

∵B（1，0），

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為：．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于，

∵平分，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

設(shè)，則，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴點(diǎn)，點(diǎn)，

∴點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線W：上的點(diǎn)，

∴，

∵x＞0，

∴，

解得：(舍去)，，

∴，

∴，

∴拋物線解析式為：．

（3）恒為定值，理由如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于H，過(guò)點(diǎn)作軸G，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵a=，

∴拋物線W的解析式為y=x2-2，

∵將拋物線W向下平移m個(gè)單位，得到拋物線，

∴拋物線的解析式為：，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為：，

∵拋物線與射線的交點(diǎn)為，

∴，

解得：，(不合題意舍去)，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)，

∴，

∴，

∴，且軸，

，

∵與軸交于點(diǎn)，

∴點(diǎn)，

∵與交于點(diǎn)，點(diǎn)，

∴，

解得：或，

∴點(diǎn)，A（0，-2），

∴，

∴，且軸，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵點(diǎn)，點(diǎn)，

∴，

∴，

∴，

∴恒為定值．