Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2．E為BC的中點，以OE為直徑的⊙O′交軸于D點，過點D作DF⊥AE于點F。

（1）求OA、OC的長；

（2）求證：DF為⊙O′的切線；

（3）小明在解答本題時，發現△AOE是等腰三角形。由此，他斷定：“直線BC上一定存在除點E以外的點P，使△AOP也是等腰三角形，且點P一定在⊙O′外”。你同意他的看法嗎？請充分說明理由。

 

Answer 1

 

（1）OC=3，  OA=5

（2）證明略

（3）略

解析:（1）在矩形OABC中，設OC=x  則OA=x+2，依題意得

          解得：

（不合題意，舍去）    ∴OC=3，  OA=5 ……………3分

（2）連結O′D，在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90，CE=BE=

∴ △OCE≌△ABE   ∴EA=EO    ∴∠EOA=∠EAO

在⊙O′中，  ∵ O′O= O′D      ∴∠EOA=∠O′DO

 ∴∠O′DO =∠EAO      ∴O′D∥AE，    

∵DF⊥AE     ∴ DF⊥O′D

又∵點D在⊙O′上，O′D為⊙O′的半徑 ，∴DF為⊙O′切線．……………6分

不同意. 理由如下:

①當AO=AP時，

以點A為圓心，以AO為半徑畫弧交BC于P1和P4兩點

過P1點作P1H⊥OA于點H，P1H = OC = 3，∵A P1= OA = 5

∴A H = 4，∴OH =1        

求得點P1（1，3）   同理可得：P4（9，3）…………8分

②當OA=OP時，同上可求得:：P2（4，3），P3（4，3）

因此，在直線BC上，除了E點外，既存在⊙O′內的點P1，又存在⊙O′外的點P2、P3、P4，它們分別使△AOP為等腰三角形．……………10分