Question

【題目】如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點，連接AC，BC，過點O作OD⊥AC于點D，過點A作半圓O的切線交OD的延長線于點E，連接BD并延長交AE于點F．

（1）求證：AEBC=ADAB；

（2）若半圓O的直徑為10，sin∠BAC=，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據已知條件易證△EAD∽△ABC，根據相似三角形的性質即可得結論；（2））作DM⊥AB于M，利用銳角三角函數和勾股定理分別求出DM、BM的長，再由DM∥AE，得,代入數據即可求得AF的長．

試題解析：（1）證明：∵AB為半圓O的直徑，

∴∠C=90°，

∵OD⊥AC，

∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，

∵AE是切線，

∴OA⊥AE，

∴∠E+∠AOE=90°，

∴∠E=∠CAB，

∴△EAD∽△ABC，

∴AE：AB=AD：BC，

∴AEBC=ADAB．

（2）解：作DM⊥AB于M，

∵半圓O的直徑為10，sin∠BAC=，

∴BC=ABsin∠BAC=6，

∴AC==8，

∵OE⊥AC，

∴AD=AC=4，OD=BC=3，

∵sin∠MAD==，

∴DM=，AM===，BM=AB﹣AM=，

∵DM∥AE，

∴，

∴AF=．