Question

如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，將長(zhǎng)方形紙片ABCD的頂點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，BC邊放在x軸的正半軸上，AB=3，AD=6，將紙片沿過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)折疊（點(diǎn)M在邊AB上），使點(diǎn)B落在邊AD上的E處（若折痕MN與x軸相交時(shí)，其交點(diǎn)即為N），過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BC于Q，交折痕于點(diǎn)P．
（1）①當(dāng)點(diǎn)M分別與AB的中點(diǎn)、A點(diǎn)重合時(shí)，那么對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P分別是點(diǎn)P₁、P₂，則P₁ ______、P₂ ______；②當(dāng)∠OMN=60°時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P是點(diǎn)P₃，求P₃的坐標(biāo)；
（2）若拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c，是經(jīng)過(guò)（1）中的點(diǎn)P₁、P₂、P₃，試求a、b、c的值；
（3）在一般情況下，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（x，y），那么y與x之間函數(shù)關(guān)系式還會(huì)與（2）中函數(shù)關(guān)系相同嗎（不考慮x的取值范圍）？請(qǐng)你利用有關(guān)幾何性質(zhì)（即不再用P₁、P₂、P₃三點(diǎn)）求出y與x之間的關(guān)系來(lái)給予說(shuō)明．

Answer 1

【答案】分析：（1）①點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，即點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，則點(diǎn)P為AO的中點(diǎn)，即可得到點(diǎn)P₁的坐標(biāo)，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)Q、P、N重合，AE=AO=3，從而得到點(diǎn)P₂的坐標(biāo)；
②根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠MNO=30°，根據(jù)翻折對(duì)稱(chēng)性求出∠QNE=60°，然后解直角三角形求出QN、PQ的長(zhǎng)度，再利用直角三角形的兩銳角互余求出∠PEN=30°，連接PO，利用翻折對(duì)稱(chēng)性求出∠PON=∠PEN=30°，從而得到∠PON=∠MNO，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得OQ=QN，從而得到點(diǎn)P₃的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式列式求解即可；
（3）連接PO，根據(jù)翻折對(duì)稱(chēng)性可得PE=PO，然后用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出PO，在Rt△POQ中，根據(jù)勾股定理列式整理即可得解．
解答：解：（1）①當(dāng)M與AB的中點(diǎn)重合時(shí)，B與A重合，即E與A重合，則點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)，
∵AB=3，
∴P₁（0，），
當(dāng)M與A重合時(shí)，Q、P與N重合，
此時(shí)，AE=AO=3，
∴P₂（3，0）；
故答案為：（0，），（3，0）；

②當(dāng)∠OMN=60°時(shí)，∠MNO=90°-60°=30°，
根據(jù)翻折對(duì)稱(chēng)性，∠QNE=2∠MNO=2×30°=60°，
在Rt△QNE中，tan∠QNE=，
即=，
解得QN=，
在Rt△PQN中，PQ=QN•tan∠MNO=tan30°=×=1，
連接PO，根據(jù)對(duì)折的性質(zhì)，∠PON=∠PEN=90°-60°=30°，
∴∠PON=∠MNO，
∵EQ⊥BC，
∴OQ=QN=，
∴點(diǎn)P₃（，1）；

（2）∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P₁（0，），P₂（3，0），P₃（，1），
∴，
解得，
故，a、b、c的值分別為a=-，b=0，c=；

（3）相同．
理由如下：如圖，連接OP，根據(jù)對(duì)折的對(duì)稱(chēng)性，△PON≌△PEN，
則PE=OP，
∵AB=3，
∴OP+PQ=EQ=AB=3，
∴OQ=x，PQ=y，PO=3-y，
在Rt△OPQ中，根據(jù)勾股定理，x²+y²=（3-y）²，
整理，x²+y²=9-6y+y²，
y=-x²+．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要考查了折疊的性質(zhì)，解直角三角形，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理，難度不是很大，（1）中利用角度的相等求出相等的角，是利用等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)求解的關(guān)鍵，也是解題的突破點(diǎn)．