Question

如圖,在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）試判定△ODE的形狀,并說明你的理由．
（2）線段BD、DE、EC三者有什么關系？寫出你理由．

Answer 1

（1）△ODE是等邊三角形,證明見解析; （2）BD=DE=EC,證明見解析.

試題分析：（1）直觀上看△ODE是等邊三角形,要證明一個三角形是等邊三角形,要么證明三邊相等,或者有兩個角是60°或者有一個角是60°的等腰三角形,由題,在等邊△ABC中，AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°,又∵OD∥AB，所以∠ABC=∠ODE=60°,同理, ∵OE∥AC，所以∠ACB=∠OED=60°,所以△ODE是等邊三角形;（2）直觀上看BD=DE=EC,∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，所以∠ABO=∠OBD,∠ACO=∠OCD,又∵OD∥AB，所以∠OBD=∠ABO=∠BOD.所以BD=OD,∵OE∥AC，所以∠ACO=∠OCD =∠COE,所以CE=OE,由(1)知△ODE是等邊三角形,所以OD=DE=OE,即BD=DE=EC.
試題解析：（1）由題,在等邊△ABC中，AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°,
又∵OD∥AB，
∴∠ABC=∠ODE=60°,
同理, ∵OE∥AC，
∴∠ACB=∠OED=60°,
∴△ODE是等邊三角形.
（2）∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠ABO=∠OBD,∠ACO=∠OCD,
又∵OD∥AB，
∴∠OBD=∠ABO=∠BOD.
∴BD=OD,
∵OE∥AC，
∴∠ACO=∠OCD =∠COE,
∴CE=OE,
由(1)知△ODE是等邊三角形,
∴OD=DE=OE,即BD=DE=EC.