Question

【題目】（1）某學習小組在探究三角形全等時，發現了下面這種典型的基本圖形．如圖①，已知：在△ABC中，∠BAC=90°AB=AC，直線l經過點A，BD⊥直線L，CE⊥直線L，垂足分別為點D、E．證明：①△ABD≌△CAE；②DE=BD+CE。

（2）組員小劉想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線L上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析.

【解析】

（1）根據同角的余角相等，可推出∠ACE=∠BAD，然后用角角邊證明△ABD≌△CAE，再用全等三角形對應邊相等得到BD=AE，AD=CE，從而得到DE=BD+CE；

（2）利用三角形外角性質可證得∠ABD=∠CAE，然后用角角邊證明△ABD≌△CAE，同理可證明DE=BD+CE.

證明：（1）∵BD⊥直線L，CE⊥直線L，

∴∠ADB=∠CEA=90°

∴∠ACE+∠EAC=90°

又∵∠BAC=90°

∴∠BAD+∠EAC=90°，

∴∠ACE=∠BAD

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE

∴DE= AE+AD=BD+CE

（2）成立，理由如下：

∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠ABD+∠BDA，∠BDA=∠BAC=α

∴∠CAE=∠ABD

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE

∴DE= AE+AD=BD+CE