Question

【題目】問題探究：如圖①，在正方形中，點在邊上，點在邊上，且．線段與相交于點，是的中線．

（1）求證：；

（2）線段與之間的數量關系為 ．

問題拓展：如圖②，在矩形中，，，點在邊上，點在邊上，且，，線段與相交于點．若是的中線，則線段的長為 ．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），證明詳見解析；問題拓展：

【解析】

（1）由正方形的性質得出∠BAD=∠D=90°，AB=DA，由SAS證明△ABE≌△DAF即可；

（2）由全等三角形的性質得出∠ABE=∠DAF，證出∠BGF=∠ABE+∠BAG=90°，在Rt△BFG中，由直角三角形斜邊上的中線性質得出BF=2GH；

問題拓展：由三角函數得出∠ABE=∠DAF，證出∠BGF=90°，在Rt△BFG中，由直角三角形斜邊上的中線性質得出BF=2GH，由矩形的性質得出∠C=90°，BC=AD=6，CD=AB=4，得出CF=CD-DF=1，由勾股定理求出BF=，即可得出GH的長．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=90°，AB=DA，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（SAS）；

（2）解：BF=2GH；理由如下：

∵△ABE≌△DAF，

∴∠ABE=∠DAF，

∵∠DAF+∠BAG=∠BAD=90°，

∴∠ABE+∠BAG=90°，

∴∠BGF=∠ABE+∠BAG=90°，

在Rt△BFG中，GH是邊BF的中線，

∴BF=2GH；

問題拓展：

解：∵tan∠ABE=，tan∠DAF=，

∴∠ABE=∠DAF，

∵∠DAF+∠BAG=∠BAD=90°，

∴∠ABE+∠BAG=90°，

∴∠AGB=90°，

∴∠BGF=90°，

在Rt△BFG中，GH是邊BF的中線，

∴BF=2GH，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=90°，BC=AD=6，CD=AB=4，

∴CF=CD-DF=1，

∴BF=，

∴GH=BF=；

故答案為：．