Question

【題目】如圖，直線AB：y＝﹣x﹣b分別與x、y軸交于A（6，0）、B兩點．

（1）求直線AB的解析式；

（2）若P為A點右側x軸上的一動點，以P為直角頂點，BP為腰在第一象限內作等腰直角△BPQ，連接QA并延長交y軸于點K，當P點運動時，K點的位置是否發生變化？若不變，請求出它的坐標；如果變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x＋6；（2）不變化，K（0，－6）

【解析】

（1）根據點A的坐標，利用待定系數法可求出直線AB的解析式；

（2）過點Q作QH⊥x軸于點H，易證△BOP≌△PHQ，利用全等三角形的性質可得出OB=HP，OP=HQ，兩式相加得PH+PO=BO+QH，即OA+AH=BO+QH，又OA=OB，可得AH=QH，即△AHQ是等腰直角三角形，進而證得△AOK為等腰直角三角形，求出OK=OA=6，即可得出K點的坐標．

解：（1）將A（6，0）代入y=-x-b，得：-6-b=0，

解得：b=-6，

∴直線AB的解析式為y=-x+6；

（2）不變化，K（0，－6）

過Q作QH⊥x軸于H，

∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ=90°，PB=PQ，

∵∠BOA=∠QHA=90°，

∴∠BPO=∠PQH，

∴△BOP≌△HPQ，

∴PH=BO，OP=QH，

∴PH+PO=BO+QH，

即OA+AH=BO+QH，

又OA=OB，

∴AH=QH，

∴△AHQ是等腰直角三角形，

∴∠QAH=45°，

∴∠OAK=45°，

∴△AOK為等腰直角三角形，

∴OK=OA=6，

∴K（0，－6）．