Question

【題目】Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，如圖1，點P從C出發向點B運動，點R是射線PB上一點，PR=3CP，過點R作QR⊥BC，且QR=aCP，連接PQ，當P點到達B點時停止運動．設CP=x，△ABC與△PQR重合部分的面積為S，S關于x的函數圖象如圖2所示（其中0＜x≤ ， ＜x≤m，m＜x≤n時，函數的解析式不同）．
（1）a的值為；
（2）求出S關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）由圖2可知，當x=時，點Q在線段AB上，且此時的S=，
PR=3CP=，QR=aCP=a，
∵QR⊥BC，
∴S=PRQR=××a=，即27a=108，
解得a=4．
（2）當x=時，Q點在線段AB上，如圖3，

∵AC⊥BC，QR⊥BC，
∴AC∥QR，
∴△ABC∽△QBR，
∴
QR=4CP=，PR=3CP=，BR=BC﹣CP﹣PR= ，
AC=QR==3 ．．
①當點Q在△ACB內時，即0＜x≤時，如圖1，
PR=3x，QR=4x，
S=PRQR=6x2 ．
②當點Q在△ACB外且R點在線段CB上時，如圖4，

此時x＞，且CR≤BC，
∵CR=CP+PR=4x，
∴＜x≤1．
∵
∴△PQR∽△ABC，
∴∠Q=∠B，
∵∠DEQ=∠REB（對頂角），
∴△DEQ∽△REB．
在Rt△ACB中，由勾股定理可知AB==5，
∵AC∥QR，
∴△EBR∽△ABC，
∴
RB=BC﹣CP﹣PR=4﹣4x，AC=3，BC=4，
∴RE=3﹣3x．
QE=QR﹣RE=4x﹣（3﹣3x）=7x﹣3．
∵△DEQ∽△REB，△EBR∽△ABC，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴DE=QE，QD=QE，QD⊥DE．
S=PRQR﹣QDDE=﹣x2+x﹣．
③當點R在線段CB的延長線上時，如圖5，

此時CR=4x＞BC=4，得x＞1；CP=x≤BC=4．
即1＜x≤4．
∵△ABC∽△PQR，
∴∠QPR=∠A，
∵∠PBM=∠ABC，
∴△PBM∽△ABC，
∴PM=PB，MB=PB．
∵PB=BC﹣CP=4﹣x，
∴ S=PMMB=（4﹣x）2=x2﹣x+ ．
綜合①②③可得：S=
【解析】（1）由圖2可知當x=時S= ， 且此時Q點在線段AB上，利用三角形面積公式即可求出a的值；
（2）由Q點和R點的位置，可將整個移動過程分成三部分，借用三角形相似，找個各邊的關系，分割圖形，既能找出S和x之間的關系式．