Question

【題目】△ABC中，AD是BC邊上的高，BD=3，CD=1，AD=2，P、Q、R分別是BC、AB、AC邊上的動點，則△PQR周長的最小值為

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖1中，

作P點關于AB的對稱點P′，作P點關于AC的對稱點P″，連接P′P″，與AB交于點Q′，與AC交于點R′，連接PP′交AB于M，連接PP″交AC于N，
此時△PQ′R′的周長最小，這個最小值=P′P″，
∵PM=MP′，PN=NP″，
∴P′P″=2MN，
∴當MN最小時P′P″最小．
如圖2中，

∵∠AMP=∠ANP=90°，
∴A、M、P、N四點共圓，線段AP就是圓的直徑，MN是弦，
∵∠MAN是定值，
∴直徑AP最小時，弦MN最小，
∴當點P與點D重合時，PA最小，此時MN最小．
如圖3中，

∵在RT△ABD中，∠ADB=90°，AD=2，DB=3，
∴
在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2，CD=1，
∴
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ACDN=DCAD，
∴
∵∠MAD=∠DAB，∠AMD=∠ADB，
∴△AMD∽△ADB，
∴
∴AD2=AMAB，同理AD2=ANAC，
∴AMAB=ANAC，
∴
∵∠MAN=∠CAB，
∴△AMN∽△ACB，
∴
∴MN= ，
∴△PQR周長的最小值=P′P″=2MN= ．
故答案為 ．
如圖1中，作P點關于AB的對稱點P′，作P點關于AC的對稱點P″，連接P′P″，與AB交于點Q′，與AC交于點R′，連接PP′交AB于M，連接PP″交AC于N，此時△PQ′R′的周長最小，這個最小值=P′P″，再證明P′P″=2MN，MN最小時，△PQR周長最小，利用圖2證明當點P與點D重合時MN最小，在圖3中利用相似三角形的性質求出MN的最小值即可解決問題．