Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE∥AC，且DE= AC，連接CE、OE，連接AE交OD于點F．
（1）求證：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=60°，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在菱形ABCD中，OC= AC．

∴DE=OC．

∵DE∥AC，

∴四邊形OCED是平行四邊形．

∵AC⊥BD，

∴平行四邊形OCED是矩形．

∴OE=CD

（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

∴AC=AB=4．

∴在矩形OCED中，CE=OD= =2 ．

在Rt△ACE中，

AE= =2

【解析】（1）先求出四邊形OCED是平行四邊形，再根據菱形的對角線互相垂直求出∠COD=90°，證明OCED是矩形，可得OE=CD即可；（2）根據菱形的性質得出AC=AB，再根據勾股定理得出AE的長度即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解菱形的性質的相關知識，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．