Question

【題目】下表中給出了變量x，與y=ax2，y=ax2+bx+c之間的部分對應值，（表格中的符號“…”表示該項數據已丟失）

x	﹣1	0	1
ax2	…	…	1
ax2+bx+c	7	2	…

（1）求拋物線y=ax2+bx+c的表達式

（2）拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D，與y軸的交點為A，點M是拋物線對稱軸上一點，直線AM交對稱軸右側的拋物線于點B，當△ADM與△BDM的面積比為2：3時，求B點坐標；

（3）在（2）的條件下，設線段BD與x軸交于點C，試寫出∠BAD和∠DCO的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣4x+2；(2) 點B的坐標為（5，7）；（3）∠BAD和∠DCO互補，理由詳見解析.

【解析】

（1）由（1，1）在拋物線y=ax2上可求出a值，再由（﹣1，7）、（0，2）在拋物線y=x2+bx+c上可求出b、c的值，此題得解；

（2）由△ADM和△BDM同底可得出兩三角形的面積比等于高的比，結合點A的坐標即可求出點B的橫坐標，再利用二次函數圖象上點的坐標特征即可求出點B的坐標；

（3）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出A、D的坐標，過點A作AN∥x軸，交BD于點N，則∠AND=∠DCO，根據點B、D的坐標利用待定系數法可求出直線BD的解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點N的坐標，利用兩點間的距離公式可求出BA、BD、BN的長度，由三者間的關系結合∠ABD=∠NBA，可證出△ABD∽△NBA，根據相似三角形的性質可得出∠ANB=∠DAB，再由∠ANB+∠AND=180°可得出∠DAB+∠DCO=180°，即∠BAD和∠DCO互補．

（1）當x=1時，y=ax2=1，

解得：a=1；

將（﹣1，7）、（0，2）代入y=x2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線的表達式為y=x2﹣4x+2；

（2）∵△ADM和△BDM同底，且△ADM與△BDM的面積比為2：3，

∴點A到拋物線的距離與點B到拋物線的距離比為2：3．

∵拋物線y=x2﹣4x+2的對稱軸為直線x=﹣=2，點A的橫坐標為0，

∴點B到拋物線的距離為3，

∴點B的橫坐標為3+2=5，

∴點B的坐標為（5，7）．

（3）∠BAD和∠DCO互補，理由如下：

當x=0時，y=x2﹣4x+2=2，

∴點A的坐標為（0，2），

∵y=x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，

∴點D的坐標為（2，﹣2）．

過點A作AN∥x軸，交BD于點N，則∠AND=∠DCO，如圖所示．

設直線BD的表達式為y=mx+n（m≠0），

將B（5，7）、D（2，﹣2）代入y=mx+n，

，解得：，

∴直線BD的表達式為y=3x﹣8．

當y=2時，有3x﹣8=2，

解得：x=，

∴點N的坐標為（，2）．

∵A（0，2），B（5，7），D（2，﹣2），

∴AB=5，BD=3，BN=，

∴==．

又∵∠ABD=∠NBA，

∴△ABD∽△NBA，

∴∠ANB=∠DAB．

∵∠ANB+∠AND=180°，

∴∠DAB+∠DCO=180°，

∴∠BAD和∠DCO互補．