Question

【題目】在平面直角坐標系中，給出如下定義：已知兩個函數，如果對于任意的自變量x，這兩個函數對應的函數值記為y1、y2，都有點（x，y1）和（x，y2）關于點（x，x）中心對稱（包括三個點重合時），由于對稱中心都在直線y=x上，所以稱這兩個函數為關于直線y=x的特別對稱函數．例如：y=x和y=為關于直線y=x的特別對稱函數．

（1）若y=3x+2和y=kx+t（k≠0）為關于直線y=x的特別對稱函數，點M（1，m）是y=3x+2上一點．

①點M（1，m）關于點（1，1）中心對稱的點坐標為　　．

②求k、t的值．

（2）若y=3x+n和它的特別對稱函數的圖象與y軸圍成的三角形面積為2，求n的值．

（3）若二次函數y=ax2+bx+c和y=x2+d為關于直線y=x的特別對稱函數．

①直接寫出a、b的值．

②已知點P（﹣3，1）、點Q（2，1），連結PQ，直接寫出y=ax2+bx+c和y=x2+d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個交點時d的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ①（1，﹣3）；②k=﹣1，t=﹣2；(2) n=±2；(3) ①a=﹣1，b=2，c=﹣d, ②y=ax2+bx+c和y=x2+d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個交點時d的取值范圍為﹣8≤d＜﹣3或0≤d＜1

【解析】

(1)、將點代入函數解析式求出m的值，根據對稱點的求法得出答案；根據特別對稱函數的性質分別求出k和t的值；(2)、設y=3x+n①的特別對稱函數為y=m'x+n'，根據特別對稱函數的性質得出m'=﹣1，n'=﹣n，則y=3x+n的特別對稱函數為y=﹣x﹣n②，聯立方程組求出x=﹣n，y=﹣n，根據面積為2求出n的值；(3)、根據特別對稱函數的性質得出∴a=﹣1，b=2，c=﹣d，根據有交點分別畫出兩個不同的圖形，從而得出答案．

（1）①∵點M（1，m）是y=3x+2上一點，∴m=5，

∴M（1，5），∴點M關于（1，1）中心對稱點坐標為（1，﹣3）；

②∵y=3x+2和y=kx+t（k≠0）為關于直線y=x的特別對稱函數， ∴=x，

∴（1+k）x+（t+2）=0， ∴k=﹣1，t=﹣2；

（2）設y=3x+n①的特別對稱函數為y=m'x+n'， ∴=x，

∴（1+m'）x+n+n'=0， ∴m'=﹣1，n'=﹣n， ∴y=3x+n的特別對稱函數為y=﹣x﹣n②，

聯立①②解得，x=﹣n，y=﹣n，

∵y=3x+n和它的特別對稱函數的圖象與y軸圍成的三角形面積為2，

∴|n﹣（﹣n）|×|﹣n|=2， ∴n=±2；

（3）①∵二次函數y=ax2+bx+c和y=x2+d為關于直線y=x的特別對稱函數，

∴， ∴（a+1）x2+（b﹣2）x+c+d=0， ∴a=﹣1，b=2，c=﹣d；

②由①知，a=﹣1，b=2，c=﹣d， ∴二次函數y=﹣x2+2x﹣d和y=x2+d，

∴這兩個函數的對稱軸為直線x=1和x=0，

∵P（﹣3，1）、點Q（2，1），當d＜0時，如圖1，

當拋物線C2：y=x2+d恰好過點P（﹣3，1）時， 即：9+d=1，∴d=﹣8，

當拋物線C1：y=﹣x2+2x﹣d恰好過點Q（2，1）時， 即：﹣4+2﹣d=1，∴d=﹣3，

y=ax2+bx+c和y=x2+d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個交點時d的取值范圍為﹣8≤d＜﹣3，

如圖2，當0≤d＜時，拋物線C1與線段PQ有兩個交點，而拋物線C2與線段PQ沒有交點，

∴y=ax2+bx+c和y=x2+d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個交點時d的取值范圍為0≤d＜1，

即：y=ax2+bx+c和y=x2+d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個交點時d的取值范圍為﹣8≤d＜﹣3或0≤d＜1．