Question

【題目】已知：二次函數，當時，函數有最大值.

(1)求此二次函數圖象與坐標軸的交點；

(2)將函數圖象軸下方部分沿軸向上翻折，得到的新圖象，若點是翻折得到的拋物線弧部分上任意一點，若關于的一元二次方程恒有實數根時，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】(1)拋物線與軸交于(0，-3)，與軸交于(-1，0)，(3，0)；(2)實數的最大值為3

【解析】

(1)求出對稱軸，結合，可知當時，隨增大而增大，所以時，，把，代入解析式求出的值，然后解方程即可；

(2)折疊部分對應的解析式：，根據求出的取值范圍，即，再結合，即可求得實數的最大值.

(1)拋物線的對稱軸為：.

∴，拋物線開口向上，大致圖象如圖所示.

當時，隨增大而增大；

∵當時，函數有最大值，

∴當時，，

∴，

解得：.

∴

當，，

，x2-2x-3=0，

解得：或，

∴拋物線與軸交于，拋物線與軸交于，.

(2)∵關于的一元二次方程恒有實數根，

∴，即恒成立，

∴恒成立.

∵（1）中的拋物線解析式為y=x2-2x-3，

∴函數的最小值為=-4，

∵點是(1)中拋物線沿x軸翻折得到的拋物線弧部分上任意一點，

∴，

∴（k取值的下限），

∴實數的最大值為3.