Question

矩形ABCD的邊長AB=3，AD=2，將此矩形放在平面直角坐標系中，使AB在x軸的正半軸上，點A在點B的左側，另兩個頂點都在第一象限，且直線y=

3

2

x-1經過這兩個頂點中的一個．
（1）求A、B、C、D四點坐標；
（2）以AB為直徑作⊙M，記過A、B兩點的拋物線y=ax²+bx+c的頂點為P．
①若P點在⊙M和矩形內，求a的取值范圍；
②過點C作CF切⊙M于E，交AD于F，當PF∥AB時，求拋物線的函數解析式．

Answer 1

（1）首先畫圖．設點A坐標為（x，0）

又∵AB=3，AD=2且點A在點B的左側．AB在x軸的正半軸上．
又∵ABCD為矩形，則點B、C、D的坐標分別為（x+3，0），（x+3，2），（x，2）
∴直線y=

3

2

x-1，經過這兩個頂點中的一個．
當其經過點C時，

3

2

(x+3)=3
∴x=-1
又∵點A在x軸正半軸上
∴x＞0
∴x=-1舍去
當其經過點D時，

3

2

x-1=2
∴x=2，符合題意．
∴A、B、C、D四點坐標分別為（2，0）、（5，0）、（5，2）、（2，2）

（2）①∵此拋物線過點A．B
∴可設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-5）=ax²-7ax+10a（a≠0）
∴其頂點P的坐標為(

7

2

，-

9

4

a)
而⊙M的圓心M的坐標為(

7

2

，0)，半徑為

3

2

∴若P點在⊙M和矩形內，則0＜-

9

4

a＜

3

2

，
∴-

2

3

＜a＜0．
②設點F坐標為（2，y），則FA=y
∵CF切⊙M于E，CB、FA均為⊙M的切線，
根據切線長定理有CE=BC=2，EF=AF=-

9

4

a，
設直線PF與BC相交于G，在直角三角形CFG中，
CF²=FG²+CG²，CG=BC-AF=2+

9

4

a，CF=BC+EF=2-

9

4

a；
∴（2-

9

4

a）²=（2+

9

4

a）²+9
解得a=-

1

2

∴拋物線的解析式為y=-

1

2

（x-2）（x-5）=-

1

2

x²+

7

2

x-5．