Question

如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)c（0，3）．
（1）求此拋物線所對(duì)應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PCD為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）拋物線與x軸交于點(diǎn)（-1，0）和（3，0），
設(shè)表達(dá)式為y=a（x+1）（x-3），
又點(diǎn)（0，3）在拋物線上，則3=a×1×（-3），
∴a=-l
故所求的表達(dá)式為：y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3．

（2）存在．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4知，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對(duì)稱軸為x=1，
①若以CD為底邊，則PC=PD．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），
由勾股定理，得：a²+（3-b）²=（a-1）²+（4-b）^2，
即b=4-a．
又點(diǎn)P（a，b）在拋物線上，b=-a²+2a+3，
則4-a=-a²+2a+3．整理，得a²-3a+1=0，
解，得a1=

3+ 5

2

＞1，a2=

3- 5

2

＜1（不合題意，舍去）
∴a=

3+ 5

2

，
則b=4-

3+ 5

2

=

5- 5

2

，
P（

3+ 5

2

，

5- 5

2

）；
②若以CD為一腰，因點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對(duì)稱性知，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（

3+ 5

2

，

5- 5

2

）或（2，3）．