Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同的點A（-2，0）、B（4，0），與y軸交于點C（0，3），連接BC、AC，該二次函數圖象的對稱軸與x軸相交于點D．
（1）求這個二次函數的解析式、點D的坐標及直線BC的函數解析式；
（2）點Q在線段BC上，使得以點Q、D、B為頂點的三角形與△ABC相似，求出點Q的坐標；
（3）在（2）的條件下，若存在點Q，請任選一個Q點求出△BDQ外接圓圓心的坐標．

Answer 1

（1）∵二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同的點A（-2，0）、B（4，0），
與y軸交于點C（0，3），
∴設二次函數為y=a（x+2）（x-4），把點C（0，3）代入得，a（0+2）（0-4）=3，
解得a=-

3

8

，
∴這個一次函數的解析式為：y=-

3

8

x²+

3

4

x+3；
∵y=-

3

8

x²+

3

4

x+3=-

3

8

（x-1）²+

27

8

，
∴拋物線的對稱軸是直x=1，
∴點D的坐標為（1，0）．　
設直線BC的解析式為；y=kx+b（k≠0），
∴

4k+b=0 b=3

，解得

k=- 3 4 b=3

，
∴直線BC的解析式為y=-

3

4

x+3．

（2）∵A（-2，0），B（4，0），C（0，3），D（1，0），
∴OD=1，BD=3，CO=3，BO=4，AB=6，
∴BC=

OB2+OC2

=

42+32

=5，
如圖1，當∠QDB=∠CAB時，

QB

CB

=

DB

AB

，

QB

5

=

3

6

，解得QB=

5

2

過點Q作QH⊥x軸于點H，
∵OC⊥x軸，
∴QH∥CO．
∴

QH

3

=

5 2

5

．解得QH=

3

2

．
把y=

3

2

代入y=-

3

4

x+3，得x=2．
∴此時，點Q的坐標為（2，

3

2

）；
如圖2，當∠DQB=∠CAB時，

QB

AB

=

DB

CB

，即

QB

6

=

3

5

，得QB=

18

5

．
過點Q作QG⊥x軸于點G，
∵OC⊥x軸，
∴QG∥CO．
∴

QG

3

=

18 5

5

．解得QG=

54

25

．
把y=

54

25

代入y=-

3

4

x+3，得x=

28

25

．
∴此時，點Q的坐標為（

28

25

，

54

25

）．
綜上所述，點Q坐標為（2，

3

2

）或（

28

25

，

54

25

）；

（3）當點Q的坐標為（2，

3

2

）時，設圓心的M（

5

2

，y）．
∵MD=MQ，
∴（

5

2

-1）²+y²=（

5

2

-2）²+（y-

3

2

）²，解得y=

1

12

，
∴M（

5

2

，

1

12

）．