Question

【題目】如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD為斜邊AB上的中線．

（1）如圖1，AE平分∠CAB交BC于E，交CD于F，若DF=2，求AC的長；

（2）將圖1中的△ADC繞點D順時針旋轉一定角度得到△ADN，如圖2，P，Q分別為線段AN，BC的中點，連接AC，BN，PQ，求證：BN=PQ．

Answer 1

【答案】（1）AC4+2；（2）見解析.

【解析】

（1）利用角平分線定理求出FM，再利用等腰直角三角形的性質即可得出CF，最后用即可；
（2）先判斷出,再判斷出∠PDQ=∠NDB，進而得出，△PDQ∽△NDB即可判斷出結論；

（1）如圖1，

∵等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD為斜邊AB上的中線．

∴CD⊥AB，∠ACD=45°

過點F作FM⊥AC，

∵AE平分∠CAB，

∴FM=FD=2

在Rt△CMF中，∠ACD=45°，

∴

∴

∵CD是等腰直角三角形斜邊的中線，

∴

（2）如圖2，連接DP，DQ，

∵△ADC繞點D順時針旋轉一定角度得到△ADN，

∴AN=BC，DN=CD=DB，△ADN是等腰直角三角形，

∵△BCD是等腰直角三角形，點Q是BC中點，

∴

∵點P是AN中點，

∴

∴

∵∠NDP=∠CDQ=45°，

∴∠PDQ=∠PDN+∠CDN+∠CDQ=90°+∠CDN，

∵∠NDB=∠CDN+∠CDB=90°+∠CDN，

∴∠PDQ=∠NDB，

∵

∴△PDQ∽△NDB，

∴

∴