Question

如圖，等邊△ABC的邊長為12cm，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且AD=AE=4cm，若點(diǎn)F從點(diǎn)B開始以2cm/s的速度沿射線BC方向運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動的時(shí)間為t秒，當(dāng)t＞0時(shí)，直線FD與過點(diǎn)A且平行于BC的直線相交于點(diǎn)G，GE的延長線與BC的延長線相交于點(diǎn)H，AB與GH相交于點(diǎn)O．
（1）設(shè)△EGA的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在點(diǎn)F運(yùn)動過程中，試猜想△GFH的面積是否改變？若不變，求其值；若改變，請說明理由；
（3）請直接寫出t為何值時(shí)，點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）為了求出三角形的面積，我們要作高線．通過特殊角的三角函數(shù)求出此高，再利用三角形相似，用t表示出底．這樣，這個(gè)三角形的面積就可用含t的代數(shù)式表示出來了．
（2）首先由兩步相似，即△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，證得BF=CH，然后分三種情況：
①0＜t＜6時(shí)，②t=6時(shí)，③t＞6時(shí)；
在上述三種情況中，通過線段間的等量代換，都可證得FH=BC，因此△FHG、△ABC的面積相等，由于△ABC的面積是定值，所以△FHG的面積不變．
（3）分兩種情況：①點(diǎn)F在線段BC上，②點(diǎn)F在BC的延長線上；可通過線段間的等量關(guān)系，求出BF的值，從而求得t的值．

解答：解：（1）作EM⊥GA，垂足為M．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°．
∵GA∥BC，
∴∠MAE=60°．
∵AD=AE=4，
∴ME=AE•sin60°=2

3

，BD=AB-AD=8，
又GA∥BH，
∴△AGD∽△BFD，
∴

AG

BF

=

AD

BD

=

1

2

，
又∵BF=2t，
∴AG=t．
∴S=

3

t．

（2）猜想：不變．
∵AG∥BC，
∴△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，
∴

AG

BF

=

AD

BD

，

AG

CH

=

AE

EC

，
∴

AD

BD

=

AE

EC

，
∴

AG

BF

=

AG

CH

，
∴BF=CH．
情況①：0＜t＜6時(shí)，
∵BF=CH，
∴BF+CF=CH+CF，
即：FH=BC；
情況②：t=6時(shí)，有FH=BC；
情況③：t＞6時(shí)，
∵BF=CH，
∴BF-CF=CH-CF，
即：FH=BC．
∴S_△GFH=S_△ABC=36

3

．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F在運(yùn)動過程中，△GFH的面積為36

3

cm²．

（3）∵BC=FH，∴BF=CH．
①當(dāng)點(diǎn)F在線段BC邊上時(shí)，若點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)，則BF=FC=CH．
∵BC=12，∴BF=FC=6，
又∵點(diǎn)F的運(yùn)動速度為2cm/s，
∴t=3．
∴當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)；
②當(dāng)點(diǎn)F在BC的延長線上時(shí)，若點(diǎn)F和點(diǎn)C是BH的三等分點(diǎn)，則BC=CF=FH．
∵BC=12，∴CF=12，∴BF=24，
又∵點(diǎn)F的運(yùn)動速度為2cm/s，
∴t=12．
∴當(dāng)t=12時(shí)，點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)；
綜上可知：當(dāng)t=3s或12s時(shí)，點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn)．

點(diǎn)評：此題主要考查了平行線的性質(zhì)、解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算方法等知識，同時(shí)還涉及分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．