Question

【題目】小明拿兩個大小不等直角三角板作拼圖，如圖①小三角板的斜邊與大三角板直角邊正好重合，已知：AD=1，∠B=∠ACD=30°．

（1）AB的長；四邊形ABCD的面積=（直接填空）；
（2）如圖2，若小明將小三角板ACD沿著射線AB方向平移，設平移的距離為m（平移距離指點A沿AB方向鎖經過的線段長度），當點D平移到線段大三角板ABC的邊上時，求出相應的m的值；
（3）如圖3，小明將小三角板ACD繞點A順時針旋轉一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉中的△ACD為△AC′D′，在旋轉過程中，設C′D′所在的直線與直線BC交于點P，與直線AB交于點Q，是否存在這樣的P、Q兩點，使△BPQ為等腰三角形？若存在，請直接求出此時D′Q的長；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】
（1）4,
（2）解：如圖2中，作DE∥AB交BC于E，交AC于F．

∴∠DFA=∠BAC=60°=∠DAF，

∴△ADF是等邊三角形，

∴AF=AD=DF=CF=1，∵FE∥AB，

∴CE=EB，

∴EF= AB=2，

∴當點D平移到線段大三角板ABC的邊上時，相應的m的值為1或3．

（3）解：①如圖3中，當BP=BQ時，在AD′上取一點E使得AE=EQ．

∵∠PBQ=30°，

∴∠AQD′=75°，∵∠AD′Q=90°，

∴∠EAQ=∠EQA=15°

∴∠QED′=30°，設D′Q=x，則AE=EQ=2x，ED′= x，

∴2x+ x=1，

∴x=2﹣ ，

∴D′Q=2﹣ ．

②如圖4中，當BQ=PQ時，易知∠AQD′=60°，D′Q=ADtan30°= ．

③如圖5中，當BP=BQ時，易知∠AQC′=∠C′AQ=15°，∴AC′=C′Q，∴D′Q=D′C+C′Q′= +2．

綜上所述，當△PBQ是等腰三角形時，D′Q的值為2﹣ 或 或 +2

【解析】解：（1）如圖1中，

在Rt△ACD中，∵AD=1，∠ACD=30°，

∴AC=2CD=2，CD= AD= ，

在Rt△ACB中，∵∠B=30°，AC=2，

∴AB=2AC=4，BC= AC=2 ，

∴四邊形ABCD的面積=S△ACD+S△ABC= + 22 = ．

所以答案是4， ．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解含30度角的直角三角形的相關知識，掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，以及對平行線分線段成比例的理解，了解三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．