Question

如圖，⊙O的半徑為1，直線CD經過圓心O，交⊙O于C、D兩點，直徑AB⊥CD，點M是直線CD上異于點C、O、D的一個動點，AM所在的直線交于⊙O于點N，點P是直線CD上另一點，且PM=PN．
（1）當點M在⊙O內部，如圖一，試判斷PN與⊙O的關系，并寫出證明過程；
（2）當點M在⊙O外部，如圖二，其它條件不變時，（1）的結論是否還成立？請說明理由；
（3）當點M在⊙O外部，如圖三，∠AMO=15°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA進而求出即可；
（2）根據已知得出∠PNM+∠ONA=90°，進而得出∠PNO=180°-90°=90°即可得出答案；
（3）首先根據外角的性質得出∠AON=30°進而利用扇形面積公式得出即可．
解答：（1）PN與⊙O相切．
證明：連接ON，
則∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．
∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．
∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°．
即PN與⊙O相切．

（2）成立．
證明：連接ON，
則∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．
在Rt△AOM中，
∴∠OMA+∠OAM=90°，
∴∠PNM+∠ONA=90°．
∴∠PNO=180°-90°=90°．
即PN與⊙O相切．

（3）解：連接ON，由（2）可知∠ONP=90°．
∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，
∴∠PON=60°，∠AON=30°．
作NE⊥OD，垂足為點E，
則NE=ON•sin60°=1×=．
S_陰影=S_△AOC+S_扇形AON-S_△CON
=OC•OA+CO•NE
=×1×1+π-×1×
=+π-．
點評：此題主要考查了扇形面積公式以及切線的判定等知識，熟練根據切線的判定得出對應角的度數是解題關鍵．