Question

【題目】用函數(shù)方法研究動點到定點的距離問題．

在研究一個動點P（x，0）到定點A（1，0）的距離S時，小明發(fā)現(xiàn)：

S與x的函數(shù)關(guān)系為S＝并畫出圖像如圖：

借助小明的研究經(jīng)驗，解決下列問題：

（1）寫出動點P（x，0）到定點B（－2，0）的距離S的函數(shù)表達式，并求當x取何值時，S取最小值？

（2）設動點P（x，0）到兩個定點M（1，0）、N（5，0）的距離和為y．

①隨著x增大，y怎樣變化？

②當x取何值時，y取最小值，y的最小值是多少？

③當x<1時，證明y隨著x增大而變化的規(guī)律．

Answer 1

【答案】（1）S＝,當x＝－2時，S的最小值為0；（2）①當x＜1時，y隨x增大而減小；當1≤x≤5時，y是一個固定的值；當x＞5時，y隨x增大而增大，②當1≤x≤5時，y取最小值，y的最小值是4，③當x＜1時，y隨x增大而減小．

【解析】

(1)根據(jù)x軸上兩點之間的距離等于它們差的絕對值，以及絕對值的意義可直接寫出結(jié)論；

（2）根據(jù)x軸上兩點之間的距離等于它們差的絕對值，得出PM和PN的距離，它們之和即為y.①分情況討論，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得y的變化情況；②根據(jù)y的變化情況可求；③當x<1時，，根據(jù)函數(shù)的增減性可得.

（1）S＝；∵當x＜2時y隨x增大而減小，當x＞2時y隨x的增大而增大，∴當x＝－2時，S的最小值為0．

（2）由題意得y＝＋，根據(jù)絕對值的意義，

可轉(zhuǎn)化為y＝

①當x＜1時，y隨x增大而減小；

當1≤x≤5時，y是一個固定的值；

當x＞5時，y隨x增大而增大．

②當1≤x≤5時，y取最小值，y的最小值是4．

③當x＜1時，，∵-2＜0

∴當x＜1時，y隨x增大而減小．