Question

【題目】定義：對于給定的二次函數y=a（x﹣h）2+k（a≠0），其伴生一次函數為y=a（x﹣h）+k，例如：二次函數y=2（x+1）2﹣3的伴生一次函數為y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．

（1）已知二次函數y=（x﹣1）2﹣4，則其伴生一次函數的表達式為_____；

（2）試說明二次函數y=（x﹣1）2﹣4的頂點在其伴生一次函數的圖象上；

（3）如圖，二次函數y=m（x﹣1）2﹣4m（m≠0）的伴生一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點B、A，且兩函數圖象的交點的橫坐標分別為1和2，在∠AOB內部的二次函數y=m（x﹣1）2﹣4m的圖象上有一動點P，過點P作x軸的平行線與其伴生一次函數的圖象交于點Q，設點P的橫坐標為n，直接寫出線段PQ的長為時n的值．

Answer 1

【答案】y=x﹣5

【解析】分析：（1）根據定義，直接變形得到伴生一次函數的解析式；

（2）求出頂點，代入伴生函數解析式即可求解；

（3）根據題意得到伴生函數解析式，根據P點的坐標，坐標表示出縱坐標，然后通過PQ與x軸的平行關系，求得Q點的坐標，由PQ的長列方程求解即可.

詳解：（1）∵二次函數y=（x﹣1）2﹣4，

∴其伴生一次函數的表達式為y=（x﹣1）﹣4=x﹣5，

故答案為y=x﹣5；

（2）∵二次函數y=（x﹣1）2﹣4，

∴頂點坐標為（1，﹣4），

∵二次函數y=（x﹣1）2﹣4，

∴其伴生一次函數的表達式為y=x﹣5，

∴當x=1時，y=1﹣5=﹣4，

∴（1，﹣4）在直線y=x﹣5上，

即：二次函數y=（x﹣1）2﹣4的頂點在其伴生一次函數的圖象上；

（3）∵二次函數y=m（x﹣1）2﹣4m，

∴其伴生一次函數為y=m（x﹣1）﹣4m=mx﹣5m，

∵P點的橫坐標為n，（n＞2），

∴P的縱坐標為m（n﹣1）2﹣4m，

即：P（n，m（n﹣1）2﹣4m），

∵PQ∥x軸，

∴Q（（n﹣1）2+1，m（n﹣1）2﹣4m），

∴PQ=（n﹣1）2+1﹣n，

∵線段PQ的長為，

∴（n﹣1）2+1﹣n=，

∴n=．