Question

【題目】在等邊三角形ABC中，點D是BC的中點，點E、F分別是邊AB、AC（含線段AB、AC的端點）上的動點，且∠EDF=120°，小明和小慧對這個圖形展開如下研究：

問題初探：

（1）如圖1，小明發現：當∠DEB=90°時，BE+CF=nAB，則n的值為______；

問題再探：

（2）如圖2，在點E、F的運動過程中，小慧發現兩個有趣的結論：

①DE始終等于DF；②BE與CF的和始終不變；請你選擇其中一個結論加以證明．

成果運用

（3）若邊長AB=4，在點E、F的運動過程中，記四邊形DEAF的周長為L，L=DE+EA+AF+FD，則周長L的變化范圍是______．

Answer 1

【答案】（1）；（2）BE與CF的和始終不變，見解析；（3）

【解析】

（1）先利用等邊三角形判斷出BD=CD=AB，進而判斷出BE=BD，再判斷出∠DFC=90°，得出CF=CD，即可得出結論；

（2）①構造出△EDG≌△FDH（ASA），得出DE=DF，即可得出結論；

②由（1）知，BG+CH=AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），得出EG=FH，即可得出結論；

（3）由（1）（2）判斷出L=2DE+6，再判斷出DE⊥AB時，L最小，點F和點C重合時，DE最大，即可得出結論．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，AB=BC，

∵點D是BC的中點，

∴BD=CD=BC=AB，

∵∠DEB=90°，

∴∠BDE=90°-∠B=30°，

在Rt△BDE中，BE=BD，

∵∠EDF=120°，∠BDE=30°，

∴∠CDF=180°-∠BDE-∠EDF=30°，

∵∠C=60°，

∴∠DFC=90°，

在Rt△CFD中，CF=CD，

∴BE+CF=BD+CD=BC=AB，

∵BE+CF=nAB，

∴n=，

故答案為；

（2）如圖2

①過點D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，

∴∠DGB=∠AGD=∠CFD=∠AHF=90°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=60°，

∴∠GDH=360°-∠AGD-∠AHD-∠A=120°，

∵∠EDF=120°，

∴∠EDG=∠FDH，

∵△ABC是等邊三角形，且D是BC的中點，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DG⊥AB，DH⊥AC，

∴DG=DH，

在△EDG和△FDH中，，

∴△EDG≌△FDH（ASA），

∴DE=DF，

即：DE始終等于DF；

②同（1）的方法得，BG+CH=AB，

由①知，△EDG≌△FDH（ASA），

∴EG=FH，

∴BE+CF=BG-EG+CH+FH=BG+CH=AB，

∴BE與CF的和始終不變

（3）由（2）知，DE=DF，BE+CF=AB，

∵AB=4，

∴BE+CF=2，

∴四邊形DEAF的周長為L=DE+EA+AF+FD

=DE+AB-BE+AC-CF+DF

=DE+AB-BE+AB+DE

=2DE+2AB-（BE+CF）

=2DE+2×4-2

=2DE+6，

∴DE最大時，L最大，DE最小時，L最小，

當DE⊥AB時，DE最小，

由（1）知，BG=BD=1，

∴DE最小=BG=，

∴L最小=2+6，

當點F和點C重合時，DE最大，此時，∠BDE=180°-∠EDF=120°=60°，

∵∠B=60°，

∴∠B=∠BDE=∠BED=60°，

∴△BDE是等邊三角形，

∴DE=BD=AB=2，

即：L最大=2×2+6=10，

∴周長L的變化范圍是2≤L≤10，

故答案為2≤L≤10．