Question

【題目】如圖，已知拋物線軸交于點A（-4，0）和B（1，0）兩點，與y軸交于C點.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設E是線段AB上的動點，作EF∥AC交BC于F，連接CE，當△CEF的面積是△BEF面積的2倍時，求E點的坐標；

（3）若P為拋物線上A、C兩點間的一個動點，過P作y軸的平行線，交AC于Q，當P點運動到什么位置時，線段PQ的值最大，并求此時P點的坐標.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）E的坐標是； （3）P點的坐標是（-2，-3）.

【解析】試題分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值；

（2）根據拋物線的解析式可得出C點的坐標，易證得△ABC是直角三角形，則EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，則面積比等于底邊比，由此可得出CF=2BF；易證得△BEF∽△BAC，根據相似三角形的性質，即可求得BE、AB的比例關系，由此可求出E點坐標；

（3）PQ的長實際是直線AC與拋物線的函數值的差，可設P點橫坐標為m，用m表示出P、Q的縱坐標，然后可得出PQ的長與m的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出PQ最大時，m的值，也就能求出此時P點的坐標．

試題解析：解：（1）由題意得： ，解得： ，∴；

（2）由（1）知：C（0，﹣2），則AC2=AO2+OC2=20，BC2=BO2+OC2=5．

而AB2=25=AC2+BC2，∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵EF∥AC，∴EF⊥BC．∵S△CEF=2S△BEF，∴CF=2BF，BC=3BF．∵EF∥AC，∴ ．

∵AB=5，∴BE=，OE=BE﹣OB=，故E（，0）；

（3）設P點坐標為（m， ）．已知A（﹣4，0），C（0，﹣2），設直線AC的解析式為：y=kx﹣2，則有：﹣4k﹣2=0，∴k=﹣，∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣2，

∴Q點坐標為（m，﹣ m﹣2），則PQ=（﹣m﹣2）﹣（）=﹣m2﹣2m=，∴當m=﹣2，即P（﹣2，﹣3）時，PQ最大，且最大值為2．

故當P運動到OA垂直平分線上時，PQ的值最大，此時P（﹣2，﹣3）．