Question

【題目】已知，，，（如圖），點，分別為射線上的動點（點C、E都不與點B重合），連接AC、AE使得，射線交射線于點，設，.

（1）如圖1，當時，求AF的長.

（2）當點在點的右側時，求關于的函數關系式，并寫出函數的定義域.

（3）連接交于點，若是等腰三角形，直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或.

【解析】

過點作于N，利用∠B的余弦值可求出BN的長，利用勾股定理即可求出AN的長，根據線段的和差關系可得CN的長，利用勾股定理可求出AC的長，根據AD//BC，AD=BC即可證明四邊形ABCD是平行四邊形，可得∠B=∠D，進而可證明△ABC∽△ADF，根據相似三角形的性質即可求出AF的長；（2）根據平行線的性質可得，根據等量代換可得，進而可證明△ABC∽△ABE，根據相似三角形的性質可得，可用x表示出BE、CE的長，根據平行線分線段成比例定理可用x表示出的值，根據可得y與x的關系式，根據x>0，CE>0即可確定x的取值范圍；（3）分PA=PD、AP=AD和AD=PD三種情況，根據BE=及線段的和差關系，分別利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案.

（1）如圖，過點作于N，

∵AB=5，，

∴在中，=5×=3，

∴AN===4，

∵BC=x=4，

∴CN=BC-BN=4-3=1，

在中，，

∵AD=4，BC=x=4，

∴AD=BC，

∵，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

又∵，

∴△ABC∽△ADF，

∴，

∴

解得：，

（2）∵，

∴，

∵，

∴，

又∵∠B=∠B，

∴△ABC∽△ABE，

∴，

∴，

∵AD//BC，

∴，

∴，

∵x>0，CE=>0，

∴0<x<5，

∴，

（3）①如圖，當PA=PD時，作AH⊥BM于H，PG⊥AD于G，延長GP交BM于N，

∵PA=PD，AD=4，

∴AG=DG=2，∠ADB=∠DAE，

∵AD//BE，

∴GN⊥BE，∠DAE=∠AEB，∠ADB=∠DBE，

∴∠DBE=∠AEB，

∴PB=PE，

∴BN=EN=BE=，

∵，AB=5，

∴BH=AB·cos∠ABH=3，

∵AH⊥BM，GN⊥MB，GN⊥AD，

∴∠AHN=∠GNH=∠NGA=90°，

∴四邊形AHNG是矩形，

∴HN=AG=2，

∴BN=BH+HN=3+2=5，

∴=5，

解得：x=.

②如圖，當AP=AD=4時，作AH⊥BM于H，

∴∠ADB=∠APD，

∵AD//BM，

∴∠ADB=∠DBC，

∵∠APD=∠BPE，

∴∠DBC=∠BPE，

∴BE=PE=，

∵cos∠ABC=，AB=5，

∴BH=3，AH=4，

∴在Rt△AEH中，(4+)2=42+(3-)2，

解得：x=，

③如圖，當AD=PD=4時，作AH⊥BM于H，DN⊥BM于N，

∴∠DAP=∠DPA，

∵AD//BM，

∴∠DAP=∠AEB，

∵∠APD=∠BPE，

∴∠BPE=∠AEB，

∴BP=BE=，

∵cos∠ABC=，AB=5，

∴BH=3，AH=4，

∵AD//BM，AH⊥BM，DN⊥BM，

∴四邊形AHND是矩形，

∴DN=AH=4，HN=AD=4，

中Rt△BND中，(4+)2=42+(4+3)2，

解得：x=，

綜上所述：x的值為或或.