Question

【題目】（操作發現）如圖1，為等腰直角三角形，，先將三角板的角與重合，再將三角板繞點按順時針方向旋轉（旋轉角大于且小于），旋轉后三角板的一直角邊與交于點．在三角板另一直角邊上取一點，使，線段上取點，使，連接，．

（1）請求出的度數？

（2）與相等嗎？請說明理由；

（類比探究）如圖2，為等邊三角形，先將三角板中的角與重合，再將三角板繞點按順時針方向旋轉（旋轉角大于且小于）.旋轉后三角板的一直角邊與交于點.在三角板斜邊上取一點，使，線段上取點，使，連接，.

（3）直接寫出_________度；

（4）若，，求線段的長度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）相等，理由詳見解析；（3）；（4）

【解析】

（1）根據全等三角形的判定得出，再由全等三角形的性質得到、，然后根據等腰三角形的判定和性質即可得解；

（2）根據全等三角形的判定得出，再由全等三角形的性質得證結論；

（3）根據全等三角形的判定得出，再由全等三角形的性質得到、，然后根據等邊三角形的判定和性質即可得解；

（4）過點作于點交延長線于點，構造出，利用含角的直角三角形的性質求得，再根據勾股定理求得，最后由勾股定理即可求得答案．

解：（1）∵為等腰直角三角形，且

∴，

∵

∴

∴

在和中，

∴

∴，

∴；

（2）相等，理由如下：

∵，

∴

∴

在和中，

∴

∴ ．

（3）∵為等邊三角形

∴，

∵

∴

∴

在和中，

∴

∴

∴；

（4）過點作于點交延長線于點，如圖：

∵由（3）可知，，

∴，

∴

∴

∴，

∴．