Question

如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸，y軸的垂線相交于B點，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x²-14x+48=0的兩個實數根．
（1）求C點坐標；
（2）求直線MN的解析式；
（3）在直線MN上存在點P，使以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．

Answer 1

（1）解方程x²-14x+48=0得
x₁=6，x₂=8．
∵OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x²-14x+48=0的兩個實數根，
∴OC=6，OA=8．
∴C（0，6）；

（2）設直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．
由（1）知，OA=8，則A（8，0）．
∵點A、C都在直線MN上，
∴

8k+b=0 b=6

，
解得，

k=- 3 4 b=6

，
∴直線MN的解析式為y=-

3

4

x+6；

（3）∵A（8，0），C（0，6），
∴根據題意知B（8，6）．
∵點P在直線MNy=-

3

4

x+6上，
∴設P（a，-

3

4

a+6）
當以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形時，需要分類討論：
①當PC=PB時，點P是線段BC的中垂線與直線MN的交點，則P₁（4，3）；
②當PC=BC時，a²+（-

3

4

a+6-6）²=64，
解得，a=±

32

5

，則P₂（-

32

5

，

54

5

），P₃（

32

5

，

6

5

）；
③當PB=BC時，（a-8）²+（-

3

4

a+6-6）²=64，
解得，a=

256

25

，則-

3

4

a+6=-

42

25

，∴P₄（

256

25

，-

42

25

）．
綜上所述，符合條件的點P有：P₁（4，3），P₂（-

32

5

，

54

5

）P₃（

32

5

，

6

5

），P₄（

256

25

，-

42

25

）．