Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD是弦，∠DBC=∠A．
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）若OC⊥BD，垂足為E，BD=12，CE=8，求AD的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB是直徑，
∴∠D=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即AB⊥BC，
∵AB過0，
∴BC與⊙O相切．

（2）解：∵OC⊥BD，OC過O，
∴BE=DE=BD，
∵BD=12，
∴BE=6，
∵OC⊥BD，
∴∠BEC=∠D=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴△BEC∽△ADB，
∴=，
∴=，
∴AD=9．
分析：（1）求出∠A+∠ABD=90°，推出∠DBC+∠ABD=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）求出BE長，證△BEC∽△ADB，得出比例式，代入求出即可．
點評：本題考查了圓周角定理，切線的判定，垂徑定理，相似三角形的性質的應用，關鍵是推出AB⊥BC和推出△BEC∽△ADB．