Question

如圖，二次函數的圖像過點，與軸交于點.

（1）證明：（其中是原點）；
（2）在拋物線的對稱軸上求一點，使的值最小；
（3）若是線段上的一個動點（不與、重合），過作軸的平行線，分別交此二次函數圖像及軸于、兩點 . 請問
是否存在這樣的點，使.  若存在，
請求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1），得
（2）P的坐標為（1，1） （3）存在；，

試題分析：（1）二次函數的圖像過點，則
，所以二次函數的解析式為；與軸交于點.令x=0，得y=2,所以點C的坐標（0，2）；在直角三角形AOC中AO=4，CO=2；過B點做與X軸的垂線，垂足為M；在直角三角形ABM中AM=AO+OM=8，BM=4；所以，所以，因此
（2）拋物線的對稱軸x=;在拋物線的對稱軸上求一點，要使的值最小，則讓三點在一條直線上
C點關于對稱軸對稱的點為，設B的解析式為y="kx+b," ,所以B的解析式為y=x;P點為BC^/與的交點；
令x=1，得y=1;所以        P的坐標為（1，1）
（3）AB：，設，
則，，
當，，（舍去），所以
當，，（舍去），所以
點評：本題考查二次函數，要求考生熟悉二次函數的概念和性質，會用待定系數法求函數的解析式，會求函數與坐標軸的交點坐標