Question

【題目】已知：O上兩個定點A,B和兩個動點C,D,AC與BD交于點E.

(1)如圖1，求證：EAEC=EBED；

(2)如圖2,若AB=BC，AD是O的直徑，求證：ADAC=2BDBC；

(3) 如圖3，若AC⊥BD，點O到AD的距離為2，求BC的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3) BC =4.

【解析】

（1）根據同弧所對的圓周角相等得到角相等，從而證得三角形相似，于是得到結論；
（2）如圖2，連接CD，OB交AC于點F由B是弧AC的中點得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．證得△CBF∽△ABD．即可得到結論；
（3）如圖3，連接AO并延長交O于F，連接DF得到AF為O的直徑于是得到∠ADF=90°，過O作OH⊥AD于H，根據三角形的中位線定理得到DF=2OH=4，通過△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是結論可得．

(1)證明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，
∴△AED∽△BEC，
∴=，
∴EAEC=EBED；
(2)證明：如圖2，連接CD，OB交AC于點F

∵B是弧AC的中點,
∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC.
又∵AD為O直徑，
∴∠ABD=90°,又∠CFB=90°.
∴△CBF∽△ABD.
∴=，故CFAD=BDBC.
∴ACAD=2BDBC；
(3)如圖3,連接AO并延長交O于F,連接DF,

∴AF為O的直徑，
∴∠ADF=90°，
過O作OH⊥AD于H，
∴AH=DH,OH∥DF，
∵AO=OF，
∴DF=2OH=4，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠ADF=90°，
∵∠ABD=∠F，
∴△ABE∽△ADF，
∴∠1=∠2，
∴弧BC=弧DF，
∴BC=DF=4.