Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+6經過點A（﹣3，0）和點B（2，0），直線y＝h（h為常數，且0＜h＜6）與BC交于點D，與y軸交于點E，與AC交于點F．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AE，求h為何值時，△AEF的面積最大．

（3）已知一定點M（﹣2，0），問：是否存在這樣的直線y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，請求出h的值和點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+6；（2）當h＝3時，△AEF的面積最大，最大面積是 ．（3）存在，當h＝時，點D的坐標為（，）；當h＝時，點D的坐標為（，）．

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題．

（2）由題意可得點E的坐標為（0，h），點F的坐標為（ ，h），根據S△AEF＝OEFE＝h＝﹣（h﹣3）2+．利用二次函數的性質即可解決問題．

（3）存在．分兩種情形情形，分別列出方程即可解決問題．

解：如圖：

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+6經過點A（﹣3，0）和點B（2，0），

∴，

解得：．

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+6．

（2）∵把x＝0代入y＝﹣x2﹣x+6，得y＝6，

∴點C的坐標為（0，6），

設經過點A和點C的直線的解析式為y＝mx+n，則，

解得 ，

∴經過點A和點C的直線的解析式為：y＝2x+6，

∵點E在直線y＝h上，

∴點E的坐標為（0，h），

∴OE＝h，

∵點F在直線y＝h/span>上，

∴點F的縱坐標為h，

把y＝h代入y＝2x+6，得h＝2x+6，

解得x＝，

∴點F的坐標為（ ，h），

∴EF＝．

∴S△AEF＝OEFE＝h＝﹣（h﹣3）2+，

∵﹣＜0且0＜h＜6，

∴當h＝3時，△AEF的面積最大，最大面積是 ．

（3）存在符合題意的直線y＝h．

∵B（2，0），C（0，6），

∴直線BC的解析式為y＝﹣3x+6，設D（m，﹣3m+6）．

①當BM＝BD時，（m﹣2）2+（﹣3m+6）2＝42，

解得m＝或（舍棄），

∴D（，），此時h＝．

②當MD＝BM時，（m+2）2+（﹣3m+6）2＝42，

解得m＝或2（舍棄），

∴D（，），此時h＝．

∵綜上所述，存在這樣的直線y＝或y＝，使△BDM是等腰三角形，當h＝時，點D的坐標為（，）；當h＝時，點D的坐標為（，）．