Question

【題目】如圖，矩形中，，將矩形繞點旋轉得到矩形，使點的對應點落在上，交于點，在上取點，使．

（1）證：．

（2）的度數．

（3）知，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）在直角三角形ABC中，由AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由折疊的性質得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證；
（2）由（1）得到△ABB′為等邊三角形，利用矩形的性質及等邊三角形的內角為60°，即可求出所求角度數；
（3）連接AF，過A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B為等邊三角形，分別利用三角函數定義求出MF與AM，根據AM=BM，即BM+MF=BF即可求出．

(1)證明：∵在中，，

∴，，

由旋轉可得：，，

∴，

∴；

（2）解：由（1）得到△ABB′為等邊三角形，
∴∠AB′B=60°，即∠BB'F=∠AB'B+∠AB'F=150°，
∵BB'=B'F，
∴∠FBB′=∠B'FB=15°；

（3）連接，過作，由（2）可得是等腰直角三角形，為等邊三角形，

∴，

∴，，

在中，，

在中，，

則．