Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣3x+ 與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC相交于點E
（1）求直線BC的解析式；
（2）當線段DE的長度最大時，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）∵拋物線y=x2﹣3x+ 與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，

∴令y=0，可得x= 或x= ，

∴A（ ，0），B（ ，0）；

令x=0，則y= ，

∴C點坐標為（0， ），

設直線BC的解析式為：y=kx+b，則有，

，

解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=- x+ ；

（2）設點D的橫坐標為m，則縱坐標為（m， ），

∴E點的坐標為（m， m+ ），

設DE的長度為d，

∵點D是直線BC下方拋物線上一點，

則d= m+ ﹣（m2﹣3m+ ），

整理得，d=﹣m2+ m，

∵a=﹣1＜0，

∴當m= = 時，d最大= = = ，

∴D點的坐標為（ ，- ）．

【解析】（1）利用坐標軸上點的特點求出A、B、C點的坐標，再用待定系數法求得直線BC的解析式；（2）設點D的橫坐標為m，則縱坐標為（m， ），E點的坐標為（m， ），可得兩點間的距離為d= ，利用二次函數的最值可得m，可得點D的坐標．此題主要考查了二次函數的性質及其圖象與坐標軸的交點，設出D的坐標，利用二次函數最值得D點坐標是解答此題的關鍵．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質和拋物線與坐標軸的交點的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．